वर्धमान और ह्रासमान फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 14:39, 3 December 2024

वर्धमान और ह्रासमान फलन कलन में ऐसे फलन हैं जिनके लिए $x$ के मान में वृद्धि के साथ $f(x)$ का मान क्रमशः वर्धमान और ह्रासमान है। वर्धमान और ह्रासमान फलनों के व्यवहार की जाँच करने के लिए फलन $f(x)$ के अवकलज का उपयोग किया जाता है। यदि $x$ के मान में वृद्धि के साथ $f(x)$ का मान वर्धमान है तो फलन को वर्धमान हुआ कहा जाता है और यदि $x$ के मान में वृद्धि के साथ $f(x)$ का मान ह्रासमान है तो फलन को ह्रासमान हुआ कहा जाता है।

इस लेख में, हम वर्धमान और ह्रासमान फलनों की अवधारणा, उनके गुणों, ग्राफ़िकल निरूपण और बेहतर समझ के लिए उदाहरणों के साथ वर्धमान और ह्रासमान फलनों के परीक्षण के लिए प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।

परिभाषा

वर्धमान और ह्रासमान फलन वे फलन हैं जिनके आलेख क्रमशः ऊपर और नीचे जाते हैं जैसे ही हम $x$ -अक्ष के दाईं ओर वर्धमान हैं। वर्धमान और ह्रासमान फलनों को गैर-ह्रासमान और गैर-वर्धमान फलन भी कहा जाता है। आइए वर्धमान और ह्रासमान फलनों की औपचारिक परिभाषा को समझते हैं ताकि उनका अर्थ समझ सकें:

वर्धमान फलन - एक फलन $f(x)$ को अंतराल $I$ पर वर्धमान हुआ कहा जाता है यदि $I$ में किसी भी दो संख्याओं $x$ और $y$ के लिए इस तरह से $x<y,$ हमारे पास $f(x)\leq f(y)$ है।
ह्रासमान फलन - एक फलन $f(x)$ को अंतराल $I$ पर ह्रासमान हुए कहा जाता है यदि $I$ में किसी भी दो संख्याओं $x$ और $y$ के लिए इस तरह से $x<y,$ हमारे पास $f(x)\geq f(y)$ है।
निरंतर से वर्धमान फलन - एक फलन $f(x)$ को अंतराल $I$ पर निरंतर से वर्धमान हुआ कहा जाता है यदि $I$ में किसी भी दो संख्याओं $x$ और $y$ के लिए इस तरह से $x<y,$ हमारे पास $f(x)<f(y)$ है।
निरंतर से ह्रासमान फलन - एक फलन $f(x)$ को अंतराल $I$ पर निरंतर से ह्रासमान हुए कहा जाता है यदि $I$ में किसी भी दो संख्याओं $x$ और $y$ के लिए इस तरह से $x<y,$ हमारे पास $f(x)>f(y)$ है।

वर्धमान और ह्रासमान फलन

आलेखीय प्रतिनिधित्व

अब, जब हम वर्धमान और ह्रासमान फलनों का अर्थ और परिभाषा जानते हैं, तो आइए वर्धमान और ह्रासमान फलनों का आलेखीय प्रतिनिधित्व देखें जो हमें फलनों के व्यवहार को समझने में सहायता करेगा।

ऊपर दिए गए आलेख निरंतर से बढ़ते, निरंतर से घटते, वर्धमान और ह्रासमान फलन का आलेखीय प्रतिनिधित्व दिखाते हैं। जैसा कि हम ऊपर दिए गए आलेख में देख सकते हैं, वर्धमान फलन में निरंतर से वर्धमान अंतराल और ऐसे अंतराल दोनों उपस्थित हैं जहाँ फलन स्थिर है। इसी तरह, ह्रासमान फलन में ऐसे अंतराल होते हैं जहाँ फलन निरंतर से घट रहा है और जहाँ फलन स्थिर है।

जाँच करने के नियम

हम किसी फलन के अवकलज का उपयोग यह जाँचने के लिए करते हैं कि यह एक वर्धमान या ह्रासमान फलन है। मान लीजिए कि एक फलन $f(x)$ एक खुले अंतराल $I$ पर अवकलनीय है, तो हमारे पास है

यदि $I$ पर $f'(x)\geq 0$ है, तो फलन को $I$ पर एक वर्धमान फलन कहा जाता है।

यदि $I$ पर $f'(x)\leq 0$ है, तो फलन को $I$ पर एक ह्रासमान फलन कहा जाता है।

उदाहरण: आइए अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित $f(x)=x^{3}$ पर विचार करें। $f(x)=x^{3}$ का अवकलज $f'(x)=3x^{2}$ द्वारा दिया गया है। हम जानते हैं कि किसी संख्या का वर्ग सदैव $0$ से बड़ा या बराबर होता है, इसलिए हमारे पास सभी $x$ के लिए $f'(x)=3x^{2}\geq 0$ है। इसलिए $f(x)=x^{3}$ एक वर्धमान फलन है।

गुणधर्म

चूँकि हम जानते हैं कि किसी फलन के बढ़ने या घटने की जाँच कैसे की जाती है, तो आइए वर्धमान और ह्रासमान फलनों के बीजगणितीय गुणों को देखें:

यदि फलन $f$ और $g$ एक खुले अंतराल $I$ पर वर्धमान फलन हैं, तो फलन $f+g$ का योग भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
यदि फलन $f$ और $g$ एक खुले अंतराल $I$ पर ह्रासमान फलन हैं, तो फलन $f+g$ का योग भी इस अंतराल पर घट रहा है।
यदि फलन $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर एक वर्धमान फलन है, तो विपरीत फलन $-f$ इस अंतराल पर घट रहा है।
यदि फलन $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर एक ह्रासमान फलन है, तो विपरीत फलन $-f$ इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
यदि फलन $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर एक वर्धमान फलन है, तो व्युत्क्रम फलन $1/f$ इस अंतराल पर घट रहा है।
यदि फलन $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर एक ह्रासमान फलन है, तो व्युत्क्रम फलन $1/f$ इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
यदि फलन $f$ और $g$ एक खुले अंतराल $I$ पर वर्धमान फलन हैं और $I$ पर $f,g\geq 0$ है, तो फलन $fg$ का गुणनफल भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
यदि फलन $f$ और $g$ एक खुले अंतराल $I$ पर ह्रासमान फलन हैं और $I$ पर $f,g\geq 0$ है, तो फलन $fg$ का गुणनफल भी इस अंतराल पर घट रहा है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

फलन के पहले अवकलज का उपयोग वर्धमान और ह्रासमान फलनों की जाँच करने के लिए किया जाता है।
वर्धमान और ह्रासमान फलनों को गैर-ह्रासमान और गैर-वर्धमान फलन भी कहा जाता है।

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-बढ़ते और घटते फलन कैलकुलस में ऐसे फलन हैं जिनके लिए x के मान में वृद्धि के साथ f(x) का मान क्रमशः बढ़ता और घटता है। बढ़ते और घटते फलनों के व्यवहार की जाँच करने के लिए फलन f(x) के व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है। यदि x के मान में वृद्धि के साथ f(x) का मान बढ़ता है तो फलन को बढ़ता हुआ कहा जाता है और यदि x के मान में वृद्धि के साथ f(x) का मान घटता है तो फलन को घटता हुआ कहा जाता है।
+वर्धमान और ह्रासमान फलन कलन में ऐसे फलन हैं जिनके लिए <math>x </math> के मान में वृद्धि के साथ <math>f(x)</math> का मान क्रमशः वर्धमान  और ह्रासमान है। वर्धमान और ह्रासमान  [[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज|फलनों]] के व्यवहार की जाँच करने के लिए फलन <math>f(x)</math> के [[अवकलज]] का उपयोग किया जाता है। यदि <math>x </math> के मान में वृद्धि के साथ <math>f(x)</math> का मान वर्धमान   है तो फलन को वर्धमान   हुआ कहा जाता है और यदि <math>x </math> के मान में वृद्धि के साथ <math>f(x)</math> का मान ह्रासमान है तो फलन को ह्रासमान हुआ कहा जाता है।
-इस लेख में, हम बढ़ते और घटते फलनों की अवधारणा, उनके गुणों, ग्राफ़िकल निरूपण और बेहतर समझ के लिए उदाहरणों के साथ बढ़ते और घटते फलनों के परीक्षण के लिए प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।
+इस लेख में, हम वर्धमान और ह्रासमान  फलनों की अवधारणा, उनके गुणों, ग्राफ़िकल निरूपण और बेहतर समझ के लिए उदाहरणों के साथ वर्धमान और ह्रासमान  फलनों के परीक्षण के लिए प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।
-बढ़ते और घटते फलन क्या हैं? बढ़ते और घटते फलन वे फलन हैं जिनके ग्राफ क्रमशः ऊपर और नीचे जाते हैं जैसे ही हम x-अक्ष के दाईं ओर बढ़ते हैं। बढ़ते और घटते फलनों को गैर-घटते और गैर-बढ़ते फलन भी कहा जाता है। आइए बढ़ते और घटते फलनों की औपचारिक परिभाषा को समझते हैं ताकि उनका अर्थ समझ सकें:
+== परिभाषा ==
+वर्धमान और ह्रासमान  फलन वे फलन हैं जिनके आलेख क्रमशः ऊपर और नीचे जाते हैं जैसे ही हम <math>x </math>-अक्ष के दाईं ओर वर्धमान  हैं। वर्धमान और ह्रासमान  फलनों को गैर-ह्रासमान और गैर-वर्धमान  फलन भी कहा जाता है। आइए वर्धमान और ह्रासमान  फलनों की औपचारिक परिभाषा को समझते हैं ताकि उनका अर्थ समझ सकें:
-बढ़ते और घटते फ़ंक्शन परिभाषा
+* '''वर्धमान फलन''' - एक फलन <math>f(x)</math> को अंतराल <math>I</math> पर वर्धमान हुआ कहा जाता है यदि <math>I</math> में किसी भी दो संख्याओं <math>x </math> और <math>y  </math> के लिए इस तरह से <math>x < y, </math> हमारे पास <math>f(x) \leq f(y) </math> है।
+* '''ह्रासमान फलन''' - एक फलन <math>f(x)</math> को अंतराल <math>I</math> पर ह्रासमान हुए कहा जाता है यदि <math>I</math> में किसी भी दो संख्याओं <math>x </math> और <math>y  </math> के लिए इस तरह से <math>x < y, </math> हमारे पास <math>f(x) \geq f(y)</math> है।
+* '''निरंतर से वर्धमान फलन''' - एक फलन <math>f(x)</math> को अंतराल <math>I</math> पर निरंतर से वर्धमान  हुआ कहा जाता है यदि <math>I</math> में किसी भी दो संख्याओं <math>x </math> और <math>y  </math> के लिए इस तरह से <math>x < y, </math> हमारे पास <math>f(x) < f(y)</math> है।
+* '''निरंतर से ह्रासमान फलन''' - एक फलन <math>f(x)</math>  को अंतराल <math>I</math> पर निरंतर से ह्रासमान हुए कहा जाता है यदि <math>I</math> में किसी भी दो संख्याओं <math>x </math> और <math>y  </math> के लिए इस तरह से <math>x < y, </math> हमारे पास <math>f(x) > f(y) </math> है।
+[[File:वर्धमान और ह्रासमान फलन.jpg|thumb|280x280px|वर्धमान और ह्रासमान फलन]]
-बढ़ते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) ≤ f(y) है।
+== आलेखीय प्रतिनिधित्व ==
+अब, जब हम वर्धमान और ह्रासमान फलनों का अर्थ और परिभाषा जानते हैं, तो आइए वर्धमान और ह्रासमान फलनों  का आलेखीय प्रतिनिधित्व देखें जो हमें फलनों के व्यवहार को समझने में सहायता करेगा।
-घटते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर घटते हुए कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) ≥ f(y) है।
-सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर सख्ती से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) < f(y) है।
-सख्ती से घटते फ़ंक्शन - एक फ़ंक्शन f(x) को अंतराल I पर सख्ती से घटते हुए कहा जाता है यदि I में किसी भी दो संख्याओं x और y के लिए इस तरह से x < y, हमारे पास f(x) > f(y) है।
+ऊपर दिए गए आलेख निरंतर से बढ़ते, निरंतर से घटते, वर्धमान और ह्रासमान  फलन का आलेखीय प्रतिनिधित्व दिखाते हैं। जैसा कि हम ऊपर दिए गए आलेख में देख सकते हैं, वर्धमान फलन में निरंतर से वर्धमान  अंतराल और ऐसे अंतराल दोनों उपस्थित हैं जहाँ फलन स्थिर है। इसी तरह, ह्रासमान फलन में ऐसे अंतराल होते हैं जहाँ फलन निरंतर से घट रहा है और जहाँ फलन स्थिर है।
-बढ़ते और घटते कार्यों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व
+== जाँच करने के नियम ==
+हम किसी फलन के अवकलज का उपयोग यह जाँचने के लिए करते हैं कि यह एक वर्धमान या ह्रासमान फलन है। मान लीजिए कि एक फलन <math>f(x)</math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर अवकलनीय है, तो हमारे पास है
-अब, जब हम बढ़ते और घटते कार्यों का अर्थ और परिभाषा जानते हैं, तो आइए बढ़ते और घटते कार्यों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व देखें जो हमें कार्यों के व्यवहार को समझने में मदद करेगा।
+यदि <math>I</math> पर <math>f'(x) \geq 0 </math> है, तो फलन को <math>I</math> पर एक वर्धमान फलन कहा जाता है।
+यदि <math>I</math> पर <math>f'(x) \leq 0 </math> है, तो फलन को <math>I</math> पर एक ह्रासमान फलन कहा जाता है।
+उदाहरण: आइए अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित <math>f(x) = x^3  </math>पर विचार करें। <math>f(x) = x^3  </math> का अवकलज <math>f'(x) = 3x^2 </math> द्वारा दिया गया है। हम जानते हैं कि किसी संख्या का वर्ग सदैव <math>0  </math> से बड़ा या बराबर होता है, इसलिए हमारे पास सभी <math>x </math> के लिए <math>f'(x) = 3x^2\geq 0  </math> है। इसलिए <math>f(x) = x^3  </math> एक वर्धमान फलन है।
-ऊपर दिए गए ग्राफ़ सख्ती से बढ़ते, सख्ती से घटते, बढ़ते और घटते फ़ंक्शन का ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व दिखाते हैं। जैसा कि हम ऊपर दिए गए ग्राफ़ में देख सकते हैं, बढ़ते फ़ंक्शन में सख्ती से बढ़ते अंतराल और ऐसे अंतराल दोनों शामिल हैं जहाँ फ़ंक्शन स्थिर है। इसी तरह, घटते फ़ंक्शन में ऐसे अंतराल होते हैं जहाँ फ़ंक्शन सख्ती से घट रहा है और जहाँ फ़ंक्शन स्थिर है।
+== गुणधर्म ==
+चूँकि हम जानते हैं कि किसी फलन के बढ़ने या घटने की जाँच कैसे की जाती है, तो आइए वर्धमान और ह्रासमान  फलनों  के बीजगणितीय गुणों को देखें:
-बढ़ते और घटते फ़ंक्शन की जाँच करने के नियम
+* यदि फलन <math>f </math> और <math>g  </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर वर्धमान  फलन हैं, तो फलन <math>f + g </math> का योग भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
+* यदि फलन <math>f </math> और <math>g  </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर ह्रासमान फलन हैं, तो फलन <math>f + g </math> का योग भी इस अंतराल पर घट रहा है।
-हम किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का उपयोग यह जाँचने के लिए करते हैं कि यह एक बढ़ता या घटता फ़ंक्शन है। मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन f(x) एक खुले अंतराल I पर अवकलनीय है, तो हमारे पास है
+* यदि फलन <math>f </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर एक वर्धमान  फलन है, तो विपरीत फलन <math>-f </math> इस अंतराल पर घट रहा है।
+* यदि फलन <math>f </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर एक ह्रासमान फलन है, तो विपरीत फलन <math>-f </math> इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
-यदि I पर f'(x) ≥ 0 है, तो फ़ंक्शन को I पर एक बढ़ता फ़ंक्शन कहा जाता है।
+* यदि फलन <math>f </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर एक वर्धमान फलन है, तो व्युत्क्रम फलन <math>1/f </math> इस अंतराल पर घट रहा है।
+* यदि फलन <math>f </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर एक ह्रासमान फलन है, तो व्युत्क्रम फलन <math>1/f </math> इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
-यदि I पर f'(x) ≤ 0 है, तो फ़ंक्शन को I पर एक घटता फ़ंक्शन कहा जाता है।
+* यदि फलन <math>f </math> और <math>g  </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर वर्धमान  फलन हैं और <math>I</math> पर <math>f, g \geq 0 </math> है, तो फलन <math>fg </math> का गुणनफल भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
+* यदि फलन <math>f </math> और <math>g  </math> एक खुले अंतराल <math>I</math> पर ह्रासमान फलन हैं और <math>I</math> पर <math>f, g \geq 0 </math> है, तो फलन <math>fg </math> का गुणनफल भी इस अंतराल पर घट रहा है।
-उदाहरण: आइए अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित f(x) = x3 पर विचार करें। f(x) = x3 का व्युत्पन्न f'(x) = 3x2 द्वारा दिया गया है। हम जानते हैं कि किसी संख्या का वर्ग हमेशा 0 से बड़ा या बराबर होता है, इसलिए हमारे पास सभी x के लिए f'(x) = 3x2 ≥ 0 है। इसलिए f(x) = x3 एक बढ़ता फ़ंक्शन है।
-== बढ़ते और घटते कार्यों के गुण ==
-* चूँकि हम जानते हैं कि किसी फ़ंक्शन के बढ़ने या घटने की जाँच कैसे की जाती है, तो आइए बढ़ते और घटते कार्यों के बीजगणितीय गुणों को देखें:
-* यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर बढ़ते फ़ंक्शन हैं, तो फ़ंक्शन f + g का योग भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर घटते फ़ंक्शन हैं, तो फ़ंक्शन f + g का योग भी इस अंतराल पर घट रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक बढ़ता फ़ंक्शन है, तो विपरीत फ़ंक्शन -f इस अंतराल पर घट रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक घटता फ़ंक्शन है, तो विपरीत फ़ंक्शन -f इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक बढ़ता फ़ंक्शन है, तो व्युत्क्रम फ़ंक्शन 1/f इस अंतराल पर घट रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f एक खुले अंतराल I पर एक घटता फ़ंक्शन है, तो व्युत्क्रम फ़ंक्शन 1/f इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर बढ़ते फ़ंक्शन हैं और I पर f, g ≥ 0 है, तो फ़ंक्शन fg का गुणनफल भी इस अंतराल पर बढ़ रहा है।
-* यदि फ़ंक्शन f और g एक खुले अंतराल I पर घटते फ़ंक्शन हैं और I पर f, g ≥ 0 है, तो फ़ंक्शन fg का गुणनफल भी इस अंतराल पर घट रहा है।
 == महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
-* फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न का उपयोग बढ़ते और घटते कार्यों की जाँच करने के लिए किया जाता है।
+* फलन के पहले अवकलज का उपयोग वर्धमान और ह्रासमान  फलनों  की जाँच करने के लिए किया जाता है।
-* बढ़ते और घटते कार्यों को गैर-घटते और गैर-बढ़ते फ़ंक्शन भी कहा जाता है।
+* वर्धमान और ह्रासमान फलनों  को गैर-ह्रासमान और गैर-वर्धमान  फलन भी कहा जाता है।
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