सन्निकटन: Difference between revisions

Latest revision as of 13:05, 4 December 2024

सन्निकटन किसी अन्य वस्तु के समान होता है, लेकिन बिल्कुल समान नहीं होता। सन्निकटन तब होता है जब कोई सटीक संख्यात्मक संख्या अज्ञात होती है या उसे प्राप्त करना कठिन होती है। गणित में, हम कुछ निश्चित मात्राओं के सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए अवकलन का उपयोग करते हैं।

मान लें कि $f$ एक दिया गया फलन है और $y=f(x)$ है। मान लें कि $\bigtriangleup x,x$ में एक छोटी वृद्धि को दर्शाता है।

अब $y$ में वृद्धि $x$ में वृद्धि की तरह है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है

$\bigtriangleup y$ , $\bigtriangleup y=f(x+\bigtriangleup x)-f(x)$ द्वारा दिया गया है

हम निम्नलिखित को परिभाषित करते हैं:

(i) $dx$ ( $x$ का अवकलन ) $dx=\bigtriangleup x$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

(ii) $dy$ ( $y$ का अवकलन ) $dy=f'(x)dx$ or $dy=(dy/dx)*\bigtriangleup x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

यदि $dx=\bigtriangleup x$ , $x,dy\approx \bigtriangleup y$ की तुलना में अपेक्षाकृत छोटा है।

उदाहरण:

उदाहरण: ${\sqrt {26}}$ का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहां यदि दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है तो मूल के नीचे का मान ज्ञात करना बहुत आसान है लेकिन इस प्रकार की संख्याओं के लिए हमें फलन का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए अवकलन का उपयोग करना होगा।

मान लें कि $f(x)={\sqrt {x}}$ और इसका अवकलज $f'(x)=1/2x^{1/2}$ है

अब हम सन्निकटन का सूत्र जानते हैं

$\bigtriangleup y\approx \bigtriangleup x=(dy/dx)\cdot \bigtriangleup xf(x+\bigtriangleup x)-f(x)=f'(x)\cdot \bigtriangleup xf(x+\bigtriangleup x)=f(x)+f'(x)\cdot \bigtriangleup x$

यहां हम $x$ को $25$ के करीब मानेंगे जो कि एक पूर्ण वर्ग है।

इसलिए हम मान लेंगे $x=25x_{2}-x_{1}=26-25=1$

यहाँ $x$ में परिवर्तन बताया गया है। मान लीजिए $x=25$ और अब हम मानों को सूत्र में डालेंगे

$f(x+\bigtriangleup x)=f(x)+f'(x).\bigtriangleup xf(25+1)$

$=f(25)+f'(25)f(26)={\sqrt {25}}+(1/2.25^{1/2}).1$

$=5+1/10{\sqrt {26}}$

$=5+0.1$

$=5.1$

सन्निकटन और त्रुटियाँ

यदि हम $f(x)$ के व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं तो यह हमें अनंत रूप से छोटे अंतराल $dx$ पर $f(x)$ में सटीक परिवर्तन देता है। जैसा कि हम जानते हैं कि परिवर्तन की तात्कालिक दर को $x$ में परिवर्तन के लिए असतत मान के रूप में सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है ताकि $\bigtriangleup x$ शून्य हो जाए।

उदाहरण: $(8.01)4/3+(8.01)2(8.01)4/3+(8.01)2$ का मान ज्ञात कीजिए ।

समाधान:

मान लीजिए $y=f(x)=x4/3+x2y=f(x)=x4/3+x2$
मान लीजिए $x_{0}=8$ तो $y_{0}=16+64=80$
$\bigtriangleup x=0.01\Rightarrow \bigtriangleup y=f'(x)\times \bigtriangleup x=(43\times 1/3+2x)\times \bigtriangleup x=(83+16)\times 0.01$
$=0.563=0.1867$
$\Rightarrow y_{0}=y_{0}+\bigtriangleup y$
$=80.1867$

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-सन्निकटन किसी अन्य चीज़ के समान होता है, लेकिन बिल्कुल बराबर नहीं होता। सन्निकटन तब होता है जब कोई सटीक संख्यात्मक संख्या अज्ञात होती है या उसे प्राप्त करना मुश्किल होता है। गणित में, हम कुछ निश्चित मात्राओं के सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए विभेदन का उपयोग करते हैं।
+सन्निकटन किसी अन्य वस्तु के समान होता है, लेकिन बिल्कुल समान नहीं होता। सन्निकटन तब होता है जब कोई सटीक संख्यात्मक [[संख्या]] अज्ञात होती है या उसे प्राप्त करना कठिन होती है। गणित में, हम कुछ निश्चित मात्राओं के सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए अवकलन का उपयोग करते हैं।
-मान लें कि f एक दिया गया फ़ंक्शन है और y = f(x) है। मान लें कि ∆x, x में एक छोटी वृद्धि को दर्शाता है।
+मान लें कि <math>f</math> एक दिया गया फलन है और <math>y = f(x)</math> है। मान लें कि<math>\bigtriangleup x, x</math> में एक छोटी वृद्धि को दर्शाता है।
-Now the increment in y like the increment in x, denoted by
+अब <math>y</math> में वृद्धि <math>x</math> में वृद्धि की तरह है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है
-'''∆y, is given by ∆y = f (x + ∆x) – f (x)'''
+<math>\bigtriangleup y</math>, <math>\bigtriangleup y = f (x + \bigtriangleup x) - f (x)</math> द्वारा दिया गया है
-We define the following:
+== हम निम्नलिखित को परिभाषित करते हैं: ==
+(i) <math>dx</math> (<math>x</math> का अवकलन ) <math>dx = \bigtriangleup x</math> द्वारा परिभाषित किया जाता है।
-(i) dx (the differential of x) is defined by dx = ∆x.
+(ii) <math>dy</math> ( <math>y</math> का अवकलन )  <math>dy = f'(x) dx</math>  or  <math>dy = (dy/dx) * \bigtriangleup x</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
-(ii) dy (the differential of y) is defined by dy = f’(x) dx or dy = (dy/dx) * ∆x
+यदि <math>dx = \bigtriangleup x</math>, <math>x, dy \approx \bigtriangleup y</math> की तुलना में अपेक्षाकृत छोटा है।
-If dx = ∆x is relatively small when compared to with x dy ≈ ∆y.
+=== उदाहरण: ===
+उदाहरण:    <math>\sqrt{26}</math> का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
-'''Example:''' '''Find the approximate value of √26.'''
+समाधान''':'''
-'''Solution:'''
+यहां यदि दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है तो मूल के नीचे का मान ज्ञात करना बहुत आसान है लेकिन इस प्रकार की संख्याओं के लिए हमें फलन का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए [[अवकलनीयता|अवकलन]] का उपयोग करना होगा।
-Here it is very easy to find the value of under root if the given number is perfect square but for such type of numbers we have to use the derivatives to find the approximate value of the function.
+मान लें कि <math>f(x) =\sqrt{x }</math> और इसका अवकलज  <math>f'(x)= 1/2x^{1/2}</math> है
-Let the f(x) =√x and the derivative of this is f’(x)= 1/2x^1/2
+अब हम सन्निकटन का सूत्र जानते हैं
-Now we know the formula of approximation
+<math>\bigtriangleup y \approx \bigtriangleup x = (dy/dx)\cdot \bigtriangleup x f(x+\bigtriangleup x)-f(x) = f'(x)\cdot \bigtriangleup x f(x+\bigtriangleup x)= f(x) + f'(x)\cdot \bigtriangleup x</math>
-'''∆y ≈ ∆x = (dy/dx). ∆x f(x+∆x)- f(x) = f’(x). ∆x f(x+∆x)= f(x) + f’(x). ∆x'''
+यहां हम <math>x</math>  को <math>25 </math> के करीब मानेंगे जो कि एक पूर्ण वर्ग है।
-Here we will assume x near to 25 which is a perfect square.
+इसलिए हम मान लेंगे <math>x = 25 x_2 -x_1 = 26 - 25 = 1</math>
-So we will assume x = 25 x2 – x1 = 26 – 25 = 1
+यहाँ <math>x</math> में परिवर्तन बताया गया है। मान लीजिए <math>x = 25</math> और अब हम मानों को सूत्र में डालेंगे
-Here tells us the change in x. Let x = 25 and now we will put the values in the formula
+<math>f(x + \bigtriangleup x) = f(x) + f'(x). \bigtriangleup x f(25 + 1)</math>
-'''f(x + ∆x) = f(x) + f’(x). ∆x f(25 + 1)'''
+<math>= f(25) + f'(25) f(26) = \sqrt{25} + (1/2.25^{1/2}).1</math>
-= f(25) + f'(25) f(26) = √25 + (1/2.25^1/2).1
+<math>= 5 + 1/10 \sqrt{26}</math>
-=  5 + 1/10 √26
+<math>= 5 + 0.1</math>
-= 5 + 0.1
+<math>= 5.1</math>
-=  5.1
+== सन्निकटन और त्रुटियाँ ==
+यदि हम<math>f(x)</math> के व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं तो यह हमें अनंत रूप से छोटे अंतराल <math>dx</math> पर <math>f(x)</math> में सटीक परिवर्तन देता है। जैसा कि हम जानते हैं कि परिवर्तन की तात्कालिक दर को <math>x</math> में परिवर्तन के लिए असतत मान के रूप में सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है ताकि <math>\bigtriangleup x</math>शून्य हो जाए।
-सन्निकटन और त्रुटियाँ
+उदाहरण:  <math>(8.01)4/3 + (8.01)2(8.01)4/3 + (8.01)2</math> का मान ज्ञात कीजिए ।
-यदि हम f(x) के व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं तो यह हमें अनंत रूप से छोटे अंतराल dx पर f(x) में सटीक परिवर्तन देता है। जैसा कि हम जानते हैं कि परिवर्तन की तात्कालिक दर को x में परिवर्तन के लिए असतत मान के रूप में सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है ताकि ∆x शून्य हो जाए।
+समाधान''':''' <blockquote>मान लीजिए <math>y = f(x) = x4/3 + x2y = f(x) = x4/3 + x2</math>
-'''Example 1''': '''Find the value of (8.01)4/3 + (8.01)2(8.01)4/3 + (8.01)2'''
+मान लीजिए <math>x_0 = 8</math> तो<math>y_0 = 16 + 64 = 80</math>
-'''Solution:''' <blockquote>Let y = f(x) = x4/3 + x2y = f(x) = x4/3 + x2
+<math>\bigtriangleup x = 0.01 \Rightarrow \bigtriangleup y= f'(x) \times \bigtriangleup x = (43 \times 1/3 + 2x) \times \bigtriangleup x = (83+16) \times 0 .01</math>
-Let x0 = 8 so that y0 = 16 + 64 = 80
+<math>=0.563=0.1867 </math>
-Δx = 0.01 ⇒ Δy = f′(x) × Δx = (43 x 1/3 + 2x) × Δx = (83+16) × 0.01
+<math>\Rightarrow y_0= y_0+\bigtriangleup y</math>
-=0.563=0.1867
+<math>=80.1867</math>
-⇒y0=y0+Δy
-=80.1867
 </blockquote>
 [[Category:अवकलज के अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]