अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल: Difference between revisions

Latest revision as of 13:29, 9 December 2024

अवकलन समीकरण का हल चर (स्वतंत्र और आश्रित) के बीच एक संबंध है, जो किसी भी क्रम के अवकलज से मुक्त होता है, और जो अवकलन समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। अब आइए विस्तार से जानें कि ‘अवकलन समीकरण हल ’ वास्तव में क्या हैं!

अवकलन समीकरण हल

यदि हम एक सामान्य $n$ ^th क्रम अवकलन समीकरण पर विचार करें –

$F[x,y,{dy \over dx},....,{d^{n}y \over dx^{n}}]=0,$

जहाँ $F$ अपने $(n+2)$ तर्कों – $x,y,{dy \over dx},....,{d^{n}y \over dx^{n}}$ का एक वास्तविक फलन है।

तब एक फलन $f(x),$ जिसे अंतराल $x\in I$ में परिभाषित किया गया है और जिसमें सभी $x\in I$ के लिए $n$ वाँ अवकलज (साथ ही सभी निम्न क्रम अवकलज ) है; दिए गए अवकलन समीकरण के स्पष्ट हल के रूप में तभी जाना जाता है जब –

$F[x,f(x),f'(x),.....,f^{(n)}(x)]=0$ , सभी $x\in I$ के लिए।

एक संबंध $g(x,y)=0,$ दिए गए अवकल समीकरण का अंतर्निहित हल कहलाता है यदि यह अंतराल $I$ पर चर $x$ का कम से कम एक वास्तविक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित करता है कि यह फलन उपरोक्त शर्तों के अनुसार इस अंतराल पर अवकल समीकरण का स्पष्ट हल है।

अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल

अवकलन समीकरण का व्यापक हल

$n$ वें क्रम के अवकलन समीकरण का सामान्य हल वह होता है जिसमें $n$ आवश्यक मनमाना स्थिरांक उपस्थित होते हैं।

यदि हम चर पृथक्करण विधि द्वारा प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण को हल करते हैं, तो हमें समाकलन करते ही एक मनमाना स्थिरांक पेश करना होगा। इस प्रकार आप देख सकते हैं कि सरलीकरण के बाद प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण के हल में 1 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होता है।

इसी प्रकार, द्वितीय क्रम के अवकलन समीकरण के सामान्य हल में 2 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होंगे और इसी तरह आगे भी। सामान्य हल ज्यामितीय रूप से वक्रों के $n$ -पैरामीटर परिवार का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, अवकलन समीकरण ${dy \over dx}=3x^{2}$ का सामान्य हल , जो $y=x^{3}+c$ निकलता है जहाँ $c$ एक मनमाना स्थिरांक है, वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार को दर्शाता है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

अवकलन समीकरण का विशिष्ट हल

अवकलन समीकरण का विशेष हल मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल से प्राप्त किया गया हल है। मनमाने स्थिरांकों के मानों की गणना करने की शर्तें हमें समस्या के आधार पर आरंभिक-मान समस्या या सीमा शर्तों के रूप में प्रदान की जा सकती हैं।

विचित्र हल

विचित्र हल भी किसी दिए गए अवकलन समीकरण का एक विशिष्ट हल है, लेकिन इसे मनमाने स्थिरांकों के मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण

प्रश्न : निर्धारित करें कि क्या फलन $f(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint$ निम्न प्रकार से दिए गए अवकलन समीकरण का एक व्यापक हल है -

${d^{2}F \over dt^{2}}+2{dF \over dt}-3F=2cost-4sint$

साथ ही, प्रारंभिक मान शर्तों $f(0)=2$ और $f'(0)=-5$ को संतुष्ट करते हुए दिए गए अवकलन समीकरण का विशेष हल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: फलन $f(t)$ को हल होने के लिए अवकलन समीकरण को संतुष्ट करना होगा। तो आइए सबसे पहले $f$ के अवकलज लिखें।

$f(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint$

$f'(t)=c_{1}e^{t}-3c_{2}e^{-3t}+cost$

$f''(t)=c_{1}e^{t}+9c_{2}e^{-3t}-sint$

अब आइए हम अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में $F$ के लिए इन मानों का उपयोग करें और परिणाम की गणना करें।

${d^{2}f \over dt^{2}}+2{df \over dt}-3f$

$(c_{1}e^{t}+9c_{2}e^{-3t}-sint)+3(c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint)$

$2cost-4sint$ , समान पदों के रद्द होने के बाद।

इस प्रकार हम पाते हैं कि सरलीकरण के बाद अवकल समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है। इसलिए, दिया गया $f(t)$ अवकल समीकरण का एक हल है।

इसके अलावा, चूँकि अवकल समीकरण का क्रम $=2$ है, और फ़ंक्शन $f(t)$ में मनमाने स्थिरांकों की संख्या $=2$ है; हम पाते हैं कि $f(t)$ द्वारा दिया गया हल वास्तव में अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

विशिष्ट हल का निर्धारण -

व्यंजक $f(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint$ , $t=0$ से

$f(0)=c_{1}+c_{2}=2.....(1)$

इसी प्रकार, व्यंजक $f'(t)=c_{1}e^{t}-3c_{2}e^{-3t}+cost$ , $t=0$ से

$f'(0)=c_{1}-3c_{2}+1=-5.....(2)$

युगपत रैखिक समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हम $c_{1}$ और $c_{2}$ के मान इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं –

$c_{1}=0$ और $c_{2}=2$

आवश्यक विशिष्ट हल है –

$f(t)=2e^{-3t}+sint$

इसी तरह, अवकल समीकरणों के समाधान पर अन्य सभी समस्याओं को भी संभाला जा सकता है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-अंतर समीकरण समाधान: अंतर समीकरण का समाधान चर (स्वतंत्र और आश्रित) के बीच एक संबंध है, जो किसी भी क्रम के व्युत्पन्नों से मुक्त होता है, और जो अंतर समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। अब आइए विस्तार से जानें कि ‘अंतर समीकरण समाधान’ वास्तव में क्या हैं!
+अवकलन समीकरण का हल  चर (स्वतंत्र और आश्रित) के बीच एक संबंध है, जो किसी भी क्रम के अवकलज से मुक्त होता है, और जो [[अवकलनीयता|अवकलन]] समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। अब आइए विस्तार से जानें कि ‘अवकलन समीकरण हल ’ वास्तव में क्या हैं!
-विभेदक समीकरण समाधान
+== अवकलन  समीकरण हल ==
+यदि हम एक सामान्य  <math>n</math><sup>th</sup> क्रम अवकलन  समीकरण पर विचार करें –
-यदि हम एक सामान्य nth क्रम विभेदक समीकरण पर विचार करें –
+<math>F[x,y,{dy \over dx},....,{d^ny \over dx^n}]=0,</math>
-,F[x,y,
+जहाँ <math>F</math> अपने <math>(n + 2)</math> तर्कों – <math>x,y,{dy \over dx},....,{d^ny \over dx^n}</math> का एक [[वास्तविक फलनों का बीजगणित|वास्तविक फलन]] है।
-जहाँ F अपने (n + 2) तर्कों – x,y,dydx,…..,dnydxn का एक वास्तविक फलन है।
+तब एक फलन <math>f(x),</math> जिसे अंतराल <math>x\in I</math>  में परिभाषित किया गया है और जिसमें सभी <math>x\in I</math> के लिए  <math>n</math>वाँ अवकलज (साथ ही सभी निम्न क्रम अवकलज  ) है; दिए गए अवकलन समीकरण के स्पष्ट हल  के रूप में तभी जाना जाता है जब –
-तब एक फलन f(x), जिसे अंतराल x ∈ I में परिभाषित किया गया है और जिसमें सभी x ∈ I के लिए nवाँ व्युत्पन्न (साथ ही सभी निम्न क्रम व्युत्पन्न) है; दिए गए अंतर समीकरण के स्पष्ट समाधान के रूप में तभी जाना जाता है जब –
+<math>F[x,f(x),f'(x),.....,f^{(n)}(x)]=0</math>  , सभी <math>x\in I</math> के लिए।
-, for all x ∈ I.
+एक [[संबंधों के प्रकार|संबंध]] <math>g(x,y) = 0,</math> दिए गए अवकल समीकरण का अंतर्निहित हल कहलाता है यदि यह अंतराल <math>I</math> पर चर <math>x</math> का कम से कम एक वास्तविक फलन <math>f</math> इस प्रकार परिभाषित करता है कि यह फलन उपरोक्त शर्तों के अनुसार इस अंतराल पर अवकल समीकरण का स्पष्ट हल है।
+[[File:अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल.jpg|thumb|अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल]]
-एक संबंध g(x,y) = 0, दिए गए अवकल समीकरण का अंतर्निहित हल कहलाता है यदि यह अंतराल I पर चर x का कम से कम एक वास्तविक फलन f इस प्रकार परिभाषित करता है कि यह फलन उपरोक्त शर्तों के अनुसार इस अंतराल पर अवकल समीकरण का स्पष्ट हल है।
+== अवकलन समीकरण का व्यापक हल ==
+<math>n</math>वें क्रम के अवकलन समीकरण का सामान्य हल  वह होता है जिसमें <math>n</math> आवश्यक मनमाना स्थिरांक उपस्थित होते हैं।
+यदि हम चर पृथक्करण विधि द्वारा प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण को हल करते हैं, तो हमें समाकलन करते ही एक मनमाना स्थिरांक पेश करना होगा। इस प्रकार आप देख सकते हैं कि सरलीकरण के बाद प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण के हल  में 1 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होता है।
+इसी प्रकार, द्वितीय क्रम के अवकलन समीकरण के सामान्य हल  में 2 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होंगे और इसी तरह आगे भी। सामान्य हल  ज्यामितीय रूप से वक्रों के <math>n</math>-पैरामीटर परिवार का प्रतिनिधित्व करता है।
+उदाहरण के लिए, अवकलन समीकरण  <math>{dy \over dx}=3x^2</math> का सामान्य हल , जो <math>y=x^3+c</math> निकलता है जहाँ <math>c </math> एक मनमाना स्थिरांक है, वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार को दर्शाता है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
+== अवकलन समीकरण का विशिष्ट हल ==
+अवकलन  समीकरण का विशेष हल  मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल  से प्राप्त किया गया हल  है। मनमाने स्थिरांकों के मानों की गणना करने की शर्तें हमें समस्या के आधार पर आरंभिक-मान समस्या या सीमा शर्तों के रूप में प्रदान की जा सकती हैं।
+=== विचित्र हल ===
+विचित्र हल भी किसी दिए गए अवकलन  समीकरण का एक विशिष्ट हल  है, लेकिन इसे मनमाने स्थिरांकों के मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल  से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
+== उदाहरण ==
+प्रश्न : निर्धारित करें कि क्या फलन <math>f(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint</math>  निम्न प्रकार से दिए गए अवकलन समीकरण का एक व्यापक हल है -
+<math>{d^2F \over dt^2}+2{dF \over dt}-3F=2cost-4sint</math>
+साथ ही, प्रारंभिक मान शर्तों <math>f(0) = 2</math> और <math>f'(0) = -5</math> को संतुष्ट करते हुए दिए गए अवकलन समीकरण का विशेष हल भी ज्ञात कीजिए।
-== अवकलन समीकरण का व्यापक हल ==
+'''उत्तर''':  फलन  <math>f(t)</math> को हल होने के लिए अवकलन समीकरण को संतुष्ट करना होगा। तो आइए सबसे पहले <math>f </math> के अवकलज  लिखें।
-nवें क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान वह होता है जिसमें n आवश्यक मनमाना स्थिरांक शामिल होते हैं।
+<math>f(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint</math>
+<math>f'(t)=c_1e^t- 3c_2e^{-3t}+cost</math>
+<math>f''(t)=c_1e^t+9c_2e^{-3t}-sint</math>
+अब आइए हम अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में <math>F</math> के लिए इन मानों का उपयोग करें और परिणाम की गणना करें।
+<math>{d^2f \over dt^2}+2{df \over dt}-3f</math>
-यदि हम चर पृथक्करण विधि द्वारा प्रथम क्रम के अंतर समीकरण को हल करते हैं, तो हमें एकीकरण करते ही एक मनमाना स्थिरांक पेश करना होगा। इस प्रकार आप देख सकते हैं कि सरलीकरण के बाद प्रथम क्रम के अंतर समीकरण के समाधान में 1 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होता है।
+<math>(c_1e^t+9c_2e^{-3t}-sint)+3(c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint)</math>
-इसी प्रकार, द्वितीय क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में 2 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होंगे और इसी तरह आगे भी। सामान्य समाधान ज्यामितीय रूप से वक्रों के n-पैरामीटर परिवार का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण dydx=3x2 का सामान्य समाधान, जो y=x3+c निकलता है जहाँ c एक मनमाना स्थिरांक है, वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार को दर्शाता है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
+<math>2cost-4sint</math>, समान पदों के रद्द होने के बाद।
+इस प्रकार हम पाते हैं कि सरलीकरण के बाद अवकल समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है। इसलिए, दिया गया <math>f(t)</math> अवकल समीकरण का एक हल है।
+इसके अलावा, चूँकि अवकल समीकरण का क्रम <math>= 2</math> है, और फ़ंक्शन <math>f(t)</math> में मनमाने स्थिरांकों की संख्या <math>= 2</math> है; हम पाते हैं कि <math>f(t)</math> द्वारा दिया गया हल वास्तव में अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
-== अवकलन समीकरण का विशिष्ट हल ==
+'''विशिष्ट हल का निर्धारण -'''
-विभेदक समीकरण का विशेष समाधान मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके सामान्य समाधान से प्राप्त किया गया समाधान है। मनमाने स्थिरांकों के मानों की गणना करने की शर्तें हमें समस्या के आधार पर आरंभिक-मान समस्या या सीमा शर्तों के रूप में प्रदान की जा सकती हैं।
-विलक्षण समाधान
+व्यंजक  <math>f(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint</math> , <math>t=0</math>  से
-विलक्षण समाधान भी किसी दिए गए विभेदक समीकरण का एक विशेष समाधान है, लेकिन इसे मनमाने स्थिरांकों के मान निर्दिष्ट करके सामान्य समाधान से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
+<math>f(0)=c_1+c_2=2.....(1)</math>
-== Examples ==
+इसी प्रकार, व्यंजक  <math>f'(t)=c_1e^t- 3c_2e^{-3t}+cost</math> , <math>t=0</math> से
-Question 1: Determine whether the function  is a general solution of the differential equation given as –
+<math>f'(0)=c_1-3c_2+1=-5.....(2)</math>
+युगपत रैखिक समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हम <math>c_1</math>और <math>c_2</math> के मान इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं –
-प्रारंभिक मान शर्तों f(0) = 2 और f'(0) = -5 को संतुष्ट करते हुए दिए गए अंतर समीकरण का विशेष हल भी ज्ञात कीजिए।
+<math>c_1=0</math>  और   <math>c_2=2</math>
-उत्तर: फ़ंक्शन f(t) को हल होने के लिए अंतर समीकरण को संतुष्ट करना होगा। तो आइए सबसे पहले f के व्युत्पन्न लिखें।
+आवश्यक विशिष्ट हल है –
+<math>f(t)=2e^{-3t}+sint</math>
-continue from page
+इसी तरह, अवकल  समीकरणों के समाधान पर अन्य सभी समस्याओं को भी संभाला जा सकता है।
 [[Category:अवकल समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]