कथनों की वैधता को प्रमाणित(सत्यापित) करना

गणितीय तर्क में, हम विभिन्न प्रकार के कथनों से निपटते हैं जो सत्य या असत्य हो सकते हैं। हम कह सकते हैं कि दिया गया कथन, कथनों के प्रकार और उसमें उपस्थित तार्किक संचालक के आधार पर सत्य है। इसका अर्थ है कि दिया गया कथन सत्य है या असत्य, यह पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि दिए गए कथन में कौन से विशेष शब्द और वाक्यांश, जैसे “और”, “या”, और कौन से निहितार्थ “यदि और केवल”, “यदि-तो”, और कौन से परिमाणक “प्रत्येक के लिए”, “वहाँ उपस्थित है”, दिखाई देते हैं। इसके आधार पर, हम दिए गए कथनों को मान्य कर सकते हैं; साथ ही, हमारे पास कथनों को मान्य करने के लिए अलग-अलग नियम और तकनीकें हैं।

गणितीय तर्क गणित में वह अवधारणा है जो किसी भी गणितीय कथन के सत्य मानों को ज्ञात करने से संबंधित है। गणितीय तर्क के सिद्धांत का उपयोग साधारणतः प्रतियोगी परीक्षाओं और पात्रता परीक्षणों में किसी व्यक्ति की वैचारिक तार्किक सोच क्षमता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। गणितीय तर्क प्रश्न बेहद प्रभावशाली होते हैं और मानव मस्तिष्क की तर्कसंगत सोच को सफलतापूर्वक जगाते हैं। गणितीय तर्क में विभिन्न प्रकार के कथन होते हैं और उन कथनों पर किए जाने वाले संक्रियाएँ(ऑपरेशन) होते हैं।

गणितीय कथन एक ऐसा कथन है जो इस प्रकार लिखा जाता है कि वह या तो सत्य हो सकता है या असत्य, लेकिन कभी भी एक साथ सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकता।

कथन का मान

कोई कथन या तो सही या गलत या सत्य या असत्य होता है। कथन की सत्य या असत्य स्थिति को सत्य मान कहते हैं। यदि कथन असत्य है तो इसे ‘$F$’ के रूप में निर्धारित किया जाता है और यदि कथन सत्य है तो इसे ‘$T$’ के रूप में निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण:

(i) ‘$364$ एक सम संख्या है’ $T$ है क्योंकि यह कथन सत्य है।

(ii) ‘$71,2$ से विभाज्य है’ $F$ है क्योंकि यह कथन असत्य है।

कथनों वैधता को प्रमाणित(सत्यापित) करना

कथनों की वैधता की जाँच करने के लिए निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

• (i) प्रत्यक्ष विधि
• (ii) प्रतिधनात्मक विधि
• (iii) विरोधाभास की विधि
• (iv) प्रति उदाहरण का उपयोग करना।

गणितीय तर्क में दिए गए कथनों को मान्य करने के कई उपाय हैं। दिए गए कथन के सत्य या असत्य होने की जाँच करने के लिए महत्वपूर्ण नियम नीचे दिए गए हैं।

नियम 1 “और” वाले कथन

यदि $p$ और $q$ दो गणितीय कथन हैं, तो यह पुष्टि करने के लिए कि कथन “$p$ और $q$” सत्य है, नीचे दिए गए चरणों का पालन किया जाना चाहिए।

चरण 1: सिद्ध करें कि कथन $p$ सत्य है।

चरण 2: सिद्ध करें कि कथन $q$ सत्य है।

नियम 2 “या” वाले कथन

यदि $p$ और $q$ दो गणितीय कथन हैं, तो यह पुष्टि करने के लिए कि कथन “$p$ या $q$” सत्य है, किसी को निम्नलिखित दो मामलों की जांच करनी चाहिए।

स्थिति 1: $p$ को असत्य मानते हुए, दिखाएँ कि $q$ अवश्य सत्य होना चाहिए।

स्थिति 2: $q$ को असत्य मानते हुए, दिखाएँ कि $p$ अवश्य सत्य होना चाहिए।

नियम 3 “यदि-तो” वाले कथन

गणितीय कथन “यदि $p$ तो $q$” को सत्यापित करने के लिए, हमें यह पुष्टि करने की आवश्यकता है कि निम्नलिखित मामलों में से कोई एक सत्य है।

स्थिति 1: $p$ को सत्य मानते हुए; दिखाएँ कि $q$ अवश्य सत्य होना चाहिए। (प्रत्यक्ष विधि)

स्थिति 2: $q$ को असत्य मानते हुए, दिखाएँ कि $p$ अवश्य असत्य होना चाहिए। (प्रतिधनात्मक विधि)

नियम 4 “यदि और केवल यदि” वाले कथन

“$p$ यदि और केवल यदि $q$” कथन को सत्यापित करने के लिए, हमें निम्नलिखित दर्शाने की आवश्यकता है:

(i) यदि $p$ सत्य है, तो $q$ सत्य है

(ii) यदि $q$ सत्य है, तो $p$ सत्य है

इस प्रकार, दिए गए कथन के आधार पर, हम ऊपर से उपयुक्त नियम लागू कर सकते हैं।

उदाहरण

किसी दिए गए कथन को मान्य करने के लिए ऊपर परिभाषित नियमों के अनुप्रयोग को समझने के लिए नीचे दिए गए उदाहरण को देखें।

हल किया गया उदाहरण

प्रश्न:

जाँचें कि निम्नलिखित कथन सत्य है या नहीं।

यदि $x,y\in Z$ इस प्रकार कि $x$ और $y$ सम संख्याएँ हैं, तो $xy$ सम है।

समाधान:

दिया गया कथन है:

यदि $x,y\in Z$ इस प्रकार कि $x$ और $y$ सम संख्याएँ हैं, तो $xy$ सम है।

इसके घटक इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

$p:x,y\in Z$ इस प्रकार कि $x$ और $y$ सम हैं

$q:xy$ सम है

दिए गए कथन की वैधता जाँचने के लिए, हम नियम 3 के स्थिति 1 को लागू करते हैं।

अर्थात $p$ को सत्य मानते हुए; दिखाएँ कि $q$ अवश्य ही सत्य होगा।

तो मान लें कि $p$ सत्य है, इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ सम पूर्णांक हैं।

$x=2m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए

$y=2n$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए

अब,

$xy=(2m)(2n)=2(2mn)$

इसका मतलब है, $xy$ सम है।

इसलिए, दिया गया कथन सत्य है।

हम विरोधाभास विधि का उपयोग यह सत्यापित करने के लिए भी कर सकते हैं कि दिया गया कथन सत्य है या असत्य। विरोधाभास विधि में, यह सत्यापित करने के लिए कि दिया गया कथन $p$ सत्य है या नहीं, हम मानते हैं कि $p$ सत्य नहीं है, यानी $\sim p$ ($p$ का निषेध या व्युत्क्रम) सत्य है।

बाद में, हम कुछ ऐसे परिणाम पर पहुँचते हैं जो हमारी धारणा का खंडन करता है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $p$ सत्य है। इस विधि में ऐसी स्थिति का उदाहरण देना उपस्थित है जहाँ कथन मान्य नहीं है। इस तरह के उदाहरण को प्रति उदाहरण कहा जाता है। नाम से ही पता चलता है कि यह दिए गए कथन का विरोध करने के लिए एक उदाहरण है। इसके अलावा, गणित में कथन को गलत सिद्ध करने के लिए साधारणतः प्रति उदाहरणों का उपयोग किया जाता है। हालाँकि, किसी कथन के समर्थन में उदाहरण प्रस्तुत करने से दिए गए कथन को वैधता नहीं मिलती है।