लीलावती में 'व्युत्क्रमानुपात'

भूमिका

व्युत्क्रम अनुपात एक प्रकार का आनुपातिक संबंध है। यदि दो मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती हैं तो जैसे-जैसे एक मात्रा बढ़ती है, दूसरी घटती जाती है। व्युत्क्रमानुपाती का एक उदाहरण एक दीवार बनाने के लिए आवश्यक कार्य के घंटे होंगे। यदि उसी दीवार का निर्माण करने वाले अधिक लोग हों तो दीवार बनाने में लगने वाला समय कम हो जाता है।

श्लोक सं. 84

इच्छावृद्धौ फले ह्रासो ह्रासे वृद्धिश्च जायते ।

व्यस्तं त्रैराशिकं तत्र ज्ञेयं गणितकोविदैः ॥८४॥

यदि, किसी दी गई स्थिति में, वांछित परिणाम घटता है (क्रमशः बढ़ता है) जैसे-जैसे मांग बढ़ती है (क्रमशः घटती है) तो तीन का प्रतिलोम नियम एक निपुण गणितज्ञ द्वारा आवेदन किया जाता है।

टिप्पणी: सामान्य ज्ञान (जो असामान्य है!) का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाना चाहिए, कि क्या चौथा पद दूसरे पद से छोटा या बड़ा होगा। फिर तीन के नियम का प्रयोग करें। वर्तमान में एकात्मक पद्धति ने तीन के नियम को प्रतिस्थापित कर दिया है और पश्चिम में तीन के नियम को अप्रचलित कर दिया गया है। स्वाभाविक रूप से, पांच और उच्च संख्या के नियम भी लुप्त हो गए हैं। लेखकों का दृढ़ मत है कि तीन का नियम एकात्मक पद्धति की तुलना में सरल है।

श्लोक सं. 85

जीवानां वयसो मौल्ये तौल्ये वर्णस्य हेमनि ।

भागहारेच राशीनां व्यस्तं त्रैराशिकं विदुः ॥८५॥

किसी प्राणी की प्रबल आयु, उसकी कीमत के व्युत्क्रमानुपाती होती है। सोने की वांछित महीनता और उसके वजन, और माप की दी गई इकाई और अनाज की मात्रा के बीच संबंधों के बारे में भी यही बात सच है।

उदाहरण 1

प्राप्नोति चेत् षोडशवत्सरा स्त्री द्वात्रिंशकं विंशतिवत्सरा किम् ।

द्विघूर्वहो निष्कचतुष्कमुक्षा प्राप्नोति धूः षट्कवहस्तदा किम् ॥ LXXXVI ||

यदि सोलह वर्ष की दासी का मूल्य 32 निष्क है, तो बीस वर्ष की दासी का मूल्य ज्ञात कीजिए। दो साल की दासता में, एक बैल की कीमत चार निष्क होती है, छह साल की दासता में बैल की कीमत क्या होगी?

टिप्पणी : i) आयु बढ़ने के साथ मूल्य घटता जाता है

16 ⇒ 32

20 ⇒ ?

यहाँ मूल्य इस प्रकार है: :  ${\frac {32\ X\ 16}{20}}={\frac {128}{5}}=25{\frac {3}{5}}$N

ii) 2 ⇒ 4

6 ⇒ ?

यहाँ मूल्य इस प्रकार है : ${\frac {4\ X\ 2}{6}}={\frac {4}{3}}=1{\frac {1}{3}}$ N

उदाहरण 2

दशवर्णं सुवर्णं चेद्गद्याणकमवाप्यते ।

निष्केण तिथिवर्णन्तु तदा वद कियन्मितम् ॥ LXXXVII ||

10 कैरेट सोने का एक गद्याणक (= 48 गुञ्जा) 1 निष्क में खरीदा जा सकता है। उसी कीमत में कितना 15 कैरेट सोना खरीदा जा सकता है?

टिप्पणी : जितना महीन सोना होता है, उतने ही मूल्य में कम सोना खरीदा जा सकता है।

1 10 ⇒ 48

1 15 ⇒ ?

इसलिए 15 कैरेट सोने की मात्रा =

${\frac {10\ X\ 48}{15}}=32$ गुञ्जा होगी

उदाहरण 3

सप्ताढकेन मानेन राशौ सस्यस्य मापिते ।

यदि मानशतं जातं तदा पञ्चाढकेन किम् ॥ LXXXVIII ॥

7A (आढक) के माप के साथ, अनाज की एक निश्चित मात्रा 100 इकाइयों को मापती है। यदि माप 5A है तो कितनी इकाइयाँ होंगी?

टिप्पणी : यह भी प्रत्यक्ष अनुपात का एक उदाहरण है।

7 ⇒ 100

5 ⇒ ?

उत्तर 140 इकाइयाँ होंगी।

${\frac {100\ X\ 7}{5}}=140$ इकाइयाँ

यह भी देखें

Inverse Proportion in Līlāvatī