सप्रतिबंध प्रायिकता

Conditional Probabilityसशर्त संभावना, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की संभावना है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की संभावना 95% (0.95) है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की संभावना कम है जो कि 10% (0.1) है। तो पहला मामला सामान्य संभावना है जबकि दूसरा मामला सशर्त संभावना है। इस उदाहरण में, हम दो संभावनाओं को P(टेनिस खेलें) = 0.95 और P(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) = 0.1 के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सशर्त संभावना के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सशर्त संभावना क्या है? सशर्त संभावना संभावना और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "B दिए जाने पर A की संभावना" (या) "स्थिति B के संबंध में A की संभावना" को सशर्त संभावना P(A | B) (या) P (A / B) (या) PB

(A) द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, P(A | B) A की संभावना को दर्शाता है जो घटना B के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की संभावना बदल सकती है।

सशर्त संभावना की परिभाषा

यदि A और B एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सशर्त संभावना यह देखते हुए कि B घटित हुई है, P(A/B) = P(A ∩ B)/ P (B) द्वारा दी जाती है, बशर्ते P(B) ≠ 0 हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सशर्त संभावना को समझें। आइए कम से कम दो पूंछ प्राप्त करने की सशर्त संभावना का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली टॉस पर सिर आता है। नमूना स्थान, S (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो घटनाओं A और B को इस प्रकार मानें:

A = कम से कम दो टेल आने की घटना

B = पहली टॉस पर चित आने की घटना

फिर, A = {HTT, THT, TTH, TTT} और B = {HHH, HHT, HTH, HTT}.

फिर P(A) = 4/8 = 1/2 और P(B) = 4/8 = 1/2.

हमें कम से कम दो टेल आने की संभावना ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहली टॉस पर चित आए. इसका मतलब है कि B के सभी तत्वों में से हमें केवल दो टेल वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि B के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो टेल हैं. इस प्रकार, अपेक्षित संभावना P(A | B) = 1/4 (B के 4 परिणामों में से B का केवल 1 परिणाम A के अनुकूल है) है.

सशर्त संभाव्यता सूत्र

उपर्युक्त उदाहरण में, हमें P(A | B) = 1/4 मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो "A और B" दोनों में मौजूद है और 4 B में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सशर्त संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (ध्यान दें कि यहाँ P(B) ≠ 0 है)

इसी तरह, हम P(B | A) को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) (ध्यान दें कि यहाँ P(A) ≠ 0 है)

इन सूत्रों को सशर्त संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।

यहाँ:

• P(A | B) = A की संभावना B दिए जाने पर (या) A की संभावना जो B के बाद होती है
• P(B | A) = B की संभावना A दिए जाने पर (या) B की संभावना जो A के बाद होती है
• P(A ∩ B) = A और B दोनों के होने की संभावना
• P(A) = A की संभावना
• P(B) = B की संभावना

सशर्त संभावना की व्युत्पत्ति

ध्यान दें कि B के वे तत्व जो घटना A के पक्ष में हैं, A और B के सामान्य तत्व हैं। यानी A ∩ B के नमूना बिंदु।

इस प्रकार P(A/B) = A ∩ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या ÷ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या।

P(A/B) = n(A∩B)n(S)n(B)n(S)

Thus P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

सशर्त प्रायिकता के गुण

यहाँ सशर्त प्रायिकता के कुछ गुण और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुण सशर्त प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।

गुण 1

मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और A कोई भी घटना है। फिर

P(S | A) = P(A | A) = 1.

Proof:

By the formula of conditional probability,

P(S | A) = P(S ∩ A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1

P(A | A) = P(A ∩ A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1

Hence property 1 is proved.

गुण 2

मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और A और B कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे P(E) ≠ 0 है। तब P((A ⋃ B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E).

प्रमाण:

सशर्त प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

P((A ⋃ B) | E) = [P((A ⋃ B) ∩ E)] / P(E)

= [ P(A ∩ E) ⋃ P(B ∩ E) ] / P(E) (using a property of sets)

= [P(A ∩ E) + P(B ∩ E) - P(A ∩ B ∩ E)] / P(E) (using addition theorem of probability)

= P(A ∩ E) / P(E) + P(B ∩ E) / P(E) - P(A ∩ B ∩ E) / P(E)

= P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E) (By conditional probability formula)

Hence property 2 is proved.

Property 3

P(A' | B) = 1 - P(A | B), where A' is the complement of the set A.

Proof:

By Property 1, we have P(S | B) = 1.

We know that S = A ⋃ A'. Thus by the above property,

P( A ⋃ A' | B) = 1

Since A and A' are disjoint events,

P(A | B) + P(A' | B) = 1

P(A' | B) = 1 - P(A | B)

Hence property 3 is proved.