बारंबारता बंटनों का विश्लेषण

आवृत्ति वितरण, दोहराई गई वस्तुओं की आवृत्ति को ग्राफ़िकल रूप या सारणीबद्ध रूप में दर्शाता है। यह वस्तुओं की आवृत्ति का एक दृश्य प्रदर्शन देता है या दिखाता है कि वे कितनी बार घटित हुई हैं। आइए इस लेख में आवृत्ति वितरण के बारे में विस्तार से जानें।

एकत्रित आंकड़ों को तालिका के रूप में व्यवस्थित करने के लिए आवृत्ति वितरण का उपयोग किया जाता है। डेटा छात्रों द्वारा प्राप्त अंक, विभिन्न शहरों के तापमान, वॉलीबॉल मैच में प्राप्त अंक आदि हो सकते हैं। डेटा संग्रह के बाद, हमें बेहतर समझ के लिए डेटा को सार्थक तरीके से दिखाना होगा। डेटा को इस तरह से व्यवस्थित करें कि इसकी सभी विशेषताएँ एक तालिका में संक्षेपित हो जाएँ। इसे आवृत्ति वितरण के रूप में जाना जाता है।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए आइए एक उदाहरण पर विचार करें। श्री क्रिस द्वारा जारी जी.के. क्विज़ में 10 छात्रों के अंक निम्नलिखित हैं 15, 17, 20, 15, 20, 17, 17, 14, 14, 20। आइए इस डेटा को आवृत्ति वितरण में दर्शाते हैं और उन छात्रों की संख्या का पता लगाते हैं जिन्हें समान अंक मिले हैं।

Quiz Marks	No. of Students
15	2
17	3
20	3
14	2

हम देख सकते हैं कि एकत्रित सभी डेटा को क्विज़ अंक और छात्रों की संख्या के कॉलम के अंतर्गत व्यवस्थित किया गया है। इससे दी गई जानकारी को समझना आसान हो जाता है और हम देख सकते हैं कि समान अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या कितनी है। इस प्रकार, सांख्यिकी में आवृत्ति वितरण हमें डेटा को एक नज़र में इसकी विशेषताओं को समझने के लिए आसान तरीके से व्यवस्थित करने में मदद करता है।

आवृत्ति वितरण ग्राफ़

डेटा को ग्राफ़ के रूप में दिखाने का एक और तरीका है और इसे आवृत्ति वितरण ग्राफ़ का उपयोग करके किया जा सकता है। ग्राफ़ हमें एकत्रित डेटा को आसान तरीके से समझने में मदद करते हैं। आवृत्ति वितरण का ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व निम्नलिखित का उपयोग करके दिखाया जा सकता है:

बार ग्राफ: बार ग्राफ आयताकार सलाखों के बीच समान दूरी के साथ समान चौड़ाई के आयताकार सलाखों का उपयोग करके डेटा का प्रतिनिधित्व करते हैं। हिस्टोग्राम: हिस्टोग्राम विभिन्न ऊंचाइयों के आयताकार सलाखों का उपयोग करके डेटा की एक ग्राफिकल प्रस्तुति है। हिस्टोग्राम में, आयताकार सलाखों के बीच कोई जगह नहीं होती है। पाई चार्ट: पाई चार्ट एक प्रकार का ग्राफ है जो डेटा को एक गोलाकार चार्ट में प्रदर्शित करता है। यह डेटा को एक गोलाकार तरीके से रिकॉर्ड करता है और फिर इसे आगे सेक्टरों में विभाजित किया जाता है जो पूरे हिस्से में से डेटा का एक विशेष हिस्सा दिखाते हैं। आवृत्ति बहुभुज: हिस्टोग्राम में सलाखों के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर एक आवृत्ति बहुभुज बनाया जाता है।

आवृत्ति वितरण के प्रकार

सांख्यिकी के अंतर्गत आवृत्ति वितरण के चार प्रकार हैं, जिन्हें नीचे समझाया गया है:

असमूहीकृत आवृत्ति वितरण: यह डेटा मानों के समूहों के बजाय प्रत्येक अलग-अलग डेटा मान में किसी आइटम की आवृत्ति दिखाता है।

समूहीकृत आवृत्ति वितरण: इस प्रकार में, डेटा को व्यवस्थित किया जाता है और उन्हें वर्ग अंतराल नामक समूहों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक वर्ग अंतराल से संबंधित डेटा की आवृत्ति को आवृत्ति वितरण तालिका में नोट किया जाता है। समूहीकृत आवृत्ति तालिका वर्ग अंतराल में आवृत्तियों के वितरण को दर्शाती है।

सापेक्ष आवृत्ति वितरण: यह प्रत्येक श्रेणी से जुड़े कुल प्रेक्षणों की संख्या के अनुपात को बताता है।

संचयी आवृत्ति वितरण: यह आवृत्ति वितरण में पहली आवृत्ति और उसके नीचे की सभी आवृत्तियों का योग है। आपको अगले मान के साथ एक मान जोड़ना होगा फिर अगले मान के साथ योग को फिर से जोड़ना होगा और इसी तरह अंतिम तक करना होगा। अंतिम संचयी आवृत्ति सभी आवृत्तियों का कुल योग होगी।

आवृत्ति वितरण तालिका

आवृत्ति वितरण तालिका एक चार्ट है जो डेटा सेट में प्रत्येक आइटम की आवृत्ति को दर्शाता है। आइए टैली चिह्नों का उपयोग करके आवृत्ति वितरण तालिका बनाने के तरीके को समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। एक जार जिसमें विभिन्न रंगों के मोती हैं- लाल, हरा, नीला, काला, लाल, हरा, नीला, पीला, लाल, लाल, हरा, हरा, हरा, पीला, लाल, हरा, पीला। प्रत्येक विशेष रंग के मोतियों की सही संख्या जानने के लिए, हमें मोतियों को श्रेणियों में वर्गीकृत करना होगा। प्रत्येक रंग के मोतियों की संख्या का पता लगाने का एक आसान तरीका टैली चिह्नों का उपयोग करना है। मोतियों को एक-एक करके चुनें और संबंधित पंक्ति और कॉलम में टैली चिह्न दर्ज करें। फिर, तालिका में प्रत्येक आइटम के लिए आवृत्ति इंगित करें।

इस प्रकार, प्राप्त तालिका को आवृत्ति वितरण तालिका कहा जाता है।

आवृत्ति वितरण तालिका के प्रकार

आवृत्ति वितरण तालिकाएँ दो प्रकार की होती हैं: समूहीकृत और अवर्गीकृत आवृत्ति वितरण तालिकाएँ।

समूहीकृत आवृत्ति वितरण तालिका: बड़ी संख्या में प्रेक्षणों या डेटा को व्यवस्थित करने के लिए, हम समूहीकृत आवृत्ति वितरण तालिका का उपयोग करते हैं। इसमें, हम उस विशेष वर्ग अंतराल से संबंधित डेटा की आवृत्ति का मिलान करने के लिए वर्ग अंतराल बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, टेस्ट में 20 छात्रों द्वारा प्राप्त अंक इस प्रकार हैं। 5, 10, 20, 15, 5, 20, 20, 15, 15, 15, 10, 10, 10, 20, 15, 5, 18, 18, 18, 18. समूहीकृत तालिका में डेटा को व्यवस्थित करने के लिए हमें वर्ग अंतराल बनाने होंगे। इस प्रकार, हम 0 - 5, 6 - 10, और इसी तरह के अंकों के वर्ग अंतराल बनाएंगे। नीचे दी गई तालिका में दो कॉलम दिखाए गए हैं, एक वर्ग अंतराल (परीक्षण में प्राप्त अंक) का है और दूसरा आवृत्ति (छात्रों की संख्या) का है। इसमें हमने टैली चिह्नों का उपयोग नहीं किया है क्योंकि हमने अंकों की सीधे गणना की है।

Marks obtained in Test (class intervals)	No. of Students (Frequency)
0 – 5	3
6 – 10	4
11 – 15	5
16 – 20	8
Total	20

अवर्गीकृत आवृत्ति वितरण सारणी: अवर्गीकृत आवृत्ति वितरण सारणी में हम वर्ग अंतराल नहीं बनाते हैं, हम व्यक्तिगत डेटा की सटीक आवृत्ति लिखते हैं। उपरोक्त उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, अवर्गीकृत सारणी इस प्रकार होगी। नीचे दी गई तालिका में दो कॉलम दिखाए गए हैं: एक टेस्ट में प्राप्त अंकों का है और दूसरा आवृत्ति (छात्रों की संख्या) का है।

Marks obtained in Test	No. of Students
5	3
10	4
15	5
18	4
20	4
Total	20

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

आवृत्ति वितरण से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदु निम्नलिखित हैं।

• किसी निश्चित उद्देश्य के लिए एकत्रित किए गए आंकड़े या संख्याएँ डेटा कहलाती हैं।
• आवृत्ति संख्याओं में वह मान है जो दर्शाता है कि दिए गए डेटा सेट में कोई विशेष आइटम कितनी बार आता है।
• आवृत्ति तालिका दो प्रकार की होती है - समूहीकृत आवृत्ति वितरण और अवर्गीकृत आवृत्ति वितरण।
• डेटा को हिस्टोग्राम, बार ग्राफ़, फ़्रीक्वेंसी पॉलीगॉन आदि जैसे ग्राफ़ का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।