राशियों के परिवर्तन की दर

राशियों के परिवर्तन की दर की अवधारणा कैलकुलस का एक मूलभूत पहलू है, विशेष रूप से व्युत्पन्नों के अनुप्रयोग में। संक्षेप में, यह अवधारणा इस बात से संबंधित है कि एक राशि दूसरे के संबंध में कैसे बदलती है। चेन नियम किसी फ़ंक्शन के किसी अन्य राशि के संबंध में परिवर्तन की दर निर्धारित करने में एक उपयोगी उपकरण है।

परिचय

जब कोई राशि समय के साथ बदलती है, तो उसे राशि परिवर्तन की दर कहा जाता है।

परिवर्तन की दर को आमतौर पर समय के सापेक्ष मात्रा में परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, गति का व्युत्पन्न वेग को दर्शाता है, जैसे कि ds/dt, समय के सापेक्ष गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। एक अन्य उदाहरण समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है।

आमतौर पर, परिवर्तन की दर को समय के संबंध में राशि के परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, गति का व्युत्पन्न, जिसे ds/dt के रूप में दर्शाया जाता है, समय के संबंध में गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इसी तरह, समय के संबंध में दूरी के परिवर्तन की दर एक और सामान्य उदाहरण है।

परिभाषा

परिभाषा

यदि कोई राशि ‘y’ किसी अन्य राशि ‘x’ में परिवर्तन के साथ बदलती है, यह तथ्य देखते हुए कि y = f(x) के रूप का समीकरण हमेशा संतुष्ट होता है यानी ‘y’ ‘x’ का एक फलन है; तो ‘x’ के संबंध में ‘y’ के परिवर्तन की दर निम्न प्रकार दी गई है

ΔyΔx=y2–y1x2–x1

इसे कभी-कभी बस औसत परिवर्तन दर के रूप में भी जाना जाता है।

यदि किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को किसी विशिष्ट बिंदु यानी ‘x’ के किसी विशिष्ट मान पर परिभाषित किया जाना है, तो इसे उस बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में जाना जाता है। किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से, हमारे पास है

dydx⌋x=x0=Limx→x0y–y(x0)x–x0

इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न वास्तव में उस बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर को दर्शाता है। परिवर्तन दर सूत्र से, यह उस स्थिति को दर्शाता है जब Δx → 0. इस प्रकार, x = x0 = पर ‘x’ के सापेक्ष ‘y’ के परिवर्तन की दर

dydx⌋x=x0

आइए एक राशि, y, पर विचार करें जो किसी अन्य राशि, x के संबंध में बदलती है, जैसे कि, y = f(x)। इस मामले में, x के संबंध में y के परिवर्तन की दर, f’(x) के व्युत्पन्न dy/dx द्वारा दी गई है।

इसलिए, एक फ़ंक्शन, y = f(x) के लिए, व्यंजक d/dx f(x) x के संबंध में y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, dy/dx, x के सापेक्ष y का व्युत्पन्न है।

टिप्पणी

यदि मात्रा में परिवर्तन की दर, dy/dx, बढ़ती है, तो इसे धनात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि मात्रा में परिवर्तन की दर, dy/dx, घटती है, तो इसे ऋणात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।

मात्राओं के परिवर्तन की दर पर श्रृंखला नियम लागू करना

मान लीजिए कि हमारे पास दो चर हैं, x और y, जो तीसरे चर t के सापेक्ष बदलते हैं, यानी, x = f(t) और y = f(t)। इस परिदृश्य में, श्रृंखला नियम को इस प्रकार लागू किया जा सकता है:

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

ध्यान दें कि dx/dt≠0.

इस प्रकार, हम t के सापेक्ष y और x दोनों के परिवर्तन की दर निर्धारित करके x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर की गणना कर सकते हैं।