लीलावती में 'साधारण ब्याज'

यहां हम जानेंगे कि लीलावती में बताए अनुसार साधारण ब्याज की गणना कैसे की जाती है।

श्लोक 97

प्रमाणकालेन हतं प्रमाणं विमिश्रकालेन हतं फलं च

स्वयोगभक्ते च पृथक् स्थिते च मिश्राहते मूल कलान्तरे स्तः ॥९७॥

साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें। इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो उत्पादों a और b को अलग-अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।

टिप्पणी: A = राशि, P = मूलधन, I = ब्याज, R = ब्याज दर, Y = अवधि। P0 = मानक प्रिंसिपल (आमतौर पर 100)

Y0 = मानक अवधि (1 वर्ष या 1 माह)।

$P={\frac {A\ X\ P_{0}\ X\ Y_{0}}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

$I={\frac {A\ X\ R\ X\ Y}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

उदाहरण 1

पंचकेन शतेनाब्दे मूलं स्वं सकलान्तरम् ।

सहस्त्रं चेत्पृथक् तत्र वद मूल कलान्तरे ॥ XCVIII ॥

जब ब्याज दर 5% प्रति माह होती है, तो एक वर्ष के बाद की राशि 1000 N (निष्क) होती है। मूलधन और ब्याज ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: उपरोक्त छंद में 'प्रति माह' का उल्लेख नहीं है लेकिन ऐसा लगता है कि उस समय ब्याज की गणना मासिक आधार पर की जाती थी।

यहाँ A = 1000, R = 5, P0 = 100, Y0 = 1 महीना Y = 1 वर्ष (12 महीने)

$P={\frac {1000\ X\ 100\ X\ 1}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=625$

$I={\frac {1000\ X\ 5\ X\ 12}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=375$

वैकल्पिक रूप से I = A - P = 1000 - 625 = 375 N

श्लोक 99

अथ प्रमाणैर्गुणिताः स्वकाला व्यतीतकालघ्नफलोद्धृतास्ते ।

स्वयोगभक्ताश्च विमिश्रनिघ्नाः प्रयुक्तखण्डानि पृथक् भवन्ति ॥९९॥

यदि एक निश्चित मूलधन के कई हिस्सों पर अलग-अलग अवधियों के लिए अलग-अलग ब्याज दर होती है और फिर भी समान ब्याज मिलता है, तो इन भागों को ज्ञात करने के लिए - मानक मूलधन और मानक अवधि का गुणनफल लें, इस गुणनफल को संबंधित अवधियों के गुणनफल से विभाजित करें, और ब्याज की दरें, और इन भागफलों को अलग-अलग लिखें। इन भागफलों को दिए गए मूलधन से गुणा किया जाता है और अलग-अलग लिखे गए भागफलों के योग से विभाजित करके दिए गए मूलधन के वांछित भाग होते हैं।

टिप्पणी: भागों को निरूपित करने के लिए प्रत्यय के साथ पिछले उदाहरण के अंकन का उपयोग करना (हम तीन भागों पर विचार करते हैं):

$P_{1}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{2}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{3}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$

उदाहरण

यत्पंचकत्रिकचतुष्कशतेन दत्तं

खंडैस्त्रिभिर्गणक निष्कशतं षडूनम् ।

मासेषु सप्तदशपंचसु तुल्यमाप्तम्

खंडत्रयेऽपि हि फलं वद खंडसंख्याम् ॥ ॥

94 N (निष्क) को तीन भागों में विभाजित किया गया और 5 प्रतिशत (प्रति माह) पर 7 महीने के लिए, 3 प्रतिशत पर 10 महीने के लिए, 4 प्रतिशत पर उधार दिया गया

5 महीने। यदि तीनों भागों पर समान ब्याज मिलता है, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: यहाँ P1 + P2 + P3 = 94

R₁ = 5 Y₁ = 7

R₂ = 3 Y₂ = 10

R₃ = 4 Y₃ = 5

उपरोक्त सूत्र के अनुसार

$P_{1}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{5X7}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{\frac {4700}{420}}}=24$

$P_{2}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{3X10}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{\frac {4700}{420}}}=28$

$P_{3}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{4X5}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{20}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{20}}}{\frac {4700}{420}}}=42$

लाभ के अंशों की गणना

यहाँ हम लाभ के अंशों की गणना करेंगे जब कुल लाभ और व्यक्तिगत निवेश दिए गए हों।

प्रक्षेपका मिश्रहता विभक्ता प्रक्षेपयोगेन पृथक् फलानि ॥ ॥

किसी व्यक्ति का हिस्सा (व्यवसाय के बाद) व्यक्ति का निवेश कुल उत्पादन से गुणा और कुल निवेश से विभाजित होता है।

टिप्पणी: यदि a, b और c निवेश हैं और x उत्पादन है, तो अंश/हिस्सा क्रमशः इस प्रकार होंगे - ${\frac {ax}{a+b+c}}$, ${\frac {bx}{a+b+c}}$, ${\frac {cx}{a+b+c}}$

उदाहरण

पंचाशदेकसहिता गणकाष्टषष्टिः पंचोनिता नवतिरादिधनानि येषाम् ।

प्राप्ता विमिश्रितधनैस्त्रिशती त्रिभिस्तैः वाणिज्यतो वद विभज्य धनानि तेषाम् ॥ ॥

तीन पंसारी ने क्रमशः 51, 68, और 85 N (निष्का) का निवेश किया। कुशलता से उन्होंने अपनी कुल संपत्ति को बढ़ाकर 300 N कर दिया। प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी : कुल निवेश = $51+68+85=204$ N

यहाँ a = 51; b = 68 ; c = 85 ; x = 204

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करके

उनके हिस्से इस प्रकार हैं- ${\frac {51\ X\ 300}{204}}=75$N ${\frac {68\ X\ 300}{204}}=100$N ${\frac {85\ X\ 300}{204}}=125$N

उनके लाभ इस प्रकार हैं - $75-51=24$N; $100-68=32$N; $125-85=40$N

टंकियों को भरने का सूत्र

यहाँ हम जलाशयों (तालाबों, झीलों, तालाबों) को भरने का सूत्र जानेंगे।

भजेच्छिदोंऽशैरथ तैर्विमिश्रै रूपं भजेत् स्यात् परिपूर्तिकालः ॥॥

व्युत्क्रमों के योग से विभाजित एक (पूल को भरने के लिए स्रोतों द्वारा लिया गया समय) भरने का समय है (पूल जब स्रोतों का एक साथ उपयोग किया जाता है)।

टिप्पणी: मान लीजिए कि किसी जलाशय को भरने में स्रोतों को t1, t2,... का समय लगता है। यदि उन्हें एक साथ प्रयोग किया जाता है तो लगने वाला समय =${\frac {1}{{\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}+...}}$

उदाहरण

ये निर्झरा दिनदिनार्धतृतीयषष्ठैः सम्पूर्णयन्ति हि पृथग्पृथगेव मुक्ताः ।

वापीं यदा युगपदेव सखे विमुक्ताः ते केन वासरलवेन तदा वदाऽशु ॥ ॥

चार धाराएँ एक कुंड में प्रवाहित होती हैं और अलग-अलग उन्हें क्रमशः $1$, ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {1}{6}}$दिन लगते हैं। यदि चारों का एक साथ उपयोग किया जाता है, तो पूल को भरने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: जैसा कि पिछले छंद में स्पष्ट किया गया है।

समय = ${\frac {1}{1+2+3+6}}={\frac {1}{12}}$वाँ दिन

चार धाराएँ एक दिन में 1, 2, 3, और 6 ताल भर सकती हैं और इस प्रकार वे एक साथ मिलकर एक दिन में 12 ताल भर सकती हैं। तो एक पूल के लिए भरने का समय = ${\frac {1}{12}}$ दिन।

यह भी देखें

Simple Interest in Līlāvatī