अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण: Difference between revisions
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एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं और <math>q\neq0</math> हैं । | |||
उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं । | |||
इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रेमय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं । | |||
== प्रेमय 1 == | |||
कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है । | |||
प्रमाण : | |||
मान लीजिए कि <math>a</math> का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है , | |||
<math>a=p_1p_2.......p_n </math> जहाँ <math>p_1,p_2,.....p_n </math> अभाज्य संख्याएँ है । | |||
इस प्रकार हम कह सकते हैं कि , | |||
<math>a^2=(p_1p_2.....p_n)(p_1p_2....p_n)</math> | |||
<math>a^2=p_1^2p_2^2.....p_n^2</math> | |||
कथन में हमें दिया गया है कि, <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि <math>p</math> , <math>a^2</math> के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; <math>a^2</math> के अभाज्य गुणनखंड <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math> है तो , <math>p</math> का मान <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math> इनमें से एक है । | |||
इस तरह , <math>a=p_1p_2.......p_n </math> ; | |||
अतः , <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है । | |||
== उदाहरण 1 == | |||
सिद्ध करें कि <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है । | |||
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Revision as of 18:26, 29 September 2023
एक संख्या को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ और पूर्णांक हैं और हैं ।
उदाहरण : , , , , आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।
इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि अपरिमेय संख्या है , जहाँ एक अभाज्य संख्या है। हम अपने प्रमाण में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रेमय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।
प्रेमय 1
कथन : माना कि एक अभाज्य संख्या है, यदि , को विभाजित करता है , तो को विभाजित करता है, जहाँ एक धनात्मक पूर्णांक है ।
प्रमाण :
मान लीजिए कि का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,
जहाँ अभाज्य संख्याएँ है ।
इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,
कथन में हमें दिया गया है कि, को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि , के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; के अभाज्य गुणनखंड है तो , का मान इनमें से एक है ।
इस तरह , ;
अतः , को विभाजित करता है ।
उदाहरण 1
सिद्ध करें कि एक अपरिमेय संख्या है ।
हल