द्विघात समीकरण: Difference between revisions
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ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं सरल शब्दों में कहे तो , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है | |||
=== द्विघात समीकरण का मानक रूप === | |||
जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है | |||
मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ] | |||
=== उदाहरण 1 === | |||
द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं : | |||
# <math>4x^2-5x+2=0</math> | |||
# <math>x^2+10x-1=0</math> | |||
# <math>3x^2-4x+2=0</math> | |||
# <math>9x^2-18x+27=0</math> | |||
=== उदाहरण 2 === | |||
एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें । | |||
हल | |||
मान लीजिए , आयत की चौड़ाई <math>=x</math> | |||
उपर्युक्त कथन के अनुसार , | |||
आयत की लंबाई <math>=2x+1</math> | |||
आयत का क्षेत्रफल <math>=545</math> | |||
हम जानते हैं कि , आयत का क्षेत्रफल = लंबाई <math>\times</math> चौड़ाई | |||
मान रखने पर , | |||
<math>545=(x+1)\times x</math> | |||
<math>x^2+x=545</math> | |||
<math>x^2+x-545=0</math> | |||
अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण <math>x^2+x-545=0</math> है । | |||
=== उदाहरण 3 === | |||
स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ? | |||
1. <math>(x-2)^2+1=2x-3</math> 2. <math>x(4x+8)=x^2+4</math> 3. <math>(x+2)^3=x^3-6</math> | |||
हल | |||
1) <math>(x-2)^2+1=2x-3</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर, | |||
<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math> | |||
<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math> | |||
<math>x^2-4x+5=2x-3</math> | |||
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर , | |||
<math>x^2-4x-2x+5+3=0</math> | |||
<math>x^2-6x+8=0</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है । | |||
2) <math>x(4x+8)=x^2+4</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर , | |||
<math>4x^2+8x=x^2+4</math> | |||
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर , | |||
<math>4x^2-x^2+8x-4=0</math> | |||
<math>3x^2+8x-4=0</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है । | |||
3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर , | |||
<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math> | |||
<math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math> | |||
<math>x^3+8+6x^2+12x=x^3-6</math> | |||
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर , | |||
<math>x^3-x^3+6x^2+12x+8+6=0</math> | |||
<math>6x^2+12x+14=0</math> | |||
उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है । |
Revision as of 10:45, 26 September 2023
ऐसी समीकरण जिन्हें हम रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां वास्तविक संख्याएं हैं , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं सरल शब्दों में कहे तो , के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है
द्विघात समीकरण का मानक रूप
जब हम ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है
मानक रूप : , [ वास्तविक संख्याएं हैं ]
उदाहरण 1
द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं :
उदाहरण 2
एक आयत का क्षेत्रफल है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
हल
मान लीजिए , आयत की चौड़ाई
उपर्युक्त कथन के अनुसार ,
आयत की लंबाई
आयत का क्षेत्रफल
हम जानते हैं कि , आयत का क्षेत्रफल = लंबाई चौड़ाई
मान रखने पर ,
अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण है ।
उदाहरण 3
स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?
1. 2. 3.
हल
1)
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
2)
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
3)
उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।