पाटीगणितम् में 'घनमूल'

भूमिका

यहां हम किसी संख्या का घनमूल जानेंगे जैसा कि पाटीगणितम् में बताया गया है।

श्लोक

घनपदमघनपदे द्वे घन (पद) तोऽपास्य घनमदो मूलम् ।

संयोज्य तृतीयपदस्याघस्तदनष्टवर्गेण ॥ २९ ॥

एकस्थानोनतया शेषं त्रिगुणेन (सं)भजेत्तस्मात् ।

लब्धं निवेश्य पङ्क्त्यां तद्वर्गं त्रिगुणमन्त्यहतम् ॥ ३० ॥

जह्यादुपरिमराशेः प्राग्वद् घनमादिमस्य (च) स्वपदात् ।

भूयस्तृतीयपदस्याघ इत्यादिकविधिर्मूलम् ॥ ३१ ॥

अनुवाद

(इकाई के स्थान से प्रारंभ होने वाले अंकों को अवधियों में विभाजित करें) एक 'घन' स्थान (घन-पद) और दो 'गैर-घन' स्थान (अघना-पद)। फिर (अंतिम) 'घन' स्थान से (सबसे बड़ा संभव) घन घटाएं और (घन) मूल को तीसरे स्थान के नीचे (अंतिम 'घन' स्थान के दाईं ओर) रखें, शेष को एक स्थान कम तक विभाजित करें (से, जो घनमूल द्वारा व्याप्त है) घनमूल के वर्ग का तीन गुना है, जो नष्ट नहीं होता है। भागफल (विभाजन से प्राप्त) को पंक्ति (घनमूल की) में सेट करना, [और भागफल को 'प्रथम' (अदिमा) और घनमूल को अंतिम' (अंत्य) के रूप में निर्दिष्ट करना], उसका वर्ग घटाएं भागफल, पहले की तरह भागफल (उपरीमा-राशि) के कब्जे वाले स्थान से एक स्थान कम से अंतिम' (अंत्य) से तीन गुना गुणा किया जाता है, और 'प्रथम' (अदिमा) का घन अपने स्थान से। (घनमूल की पंक्ति में अब जो संख्या खड़ी है वह बाईं ओर से उसके अंतिम-लेकिन-एक घन स्थान तक दी गई संख्या का घनमूल है)। फिर से नियम लागू करें, '(घनमूल को तीसरे स्थान के नीचे रखें)' आदि (बशर्ते दी गई संख्या में दो से अधिक 'घन' स्थान हों; और प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि सभी घन स्थान समाप्त न हो जाएं)।यह (दी गई संख्या का घन) मूल देगा।

यह नियम निम्नलिखित उदाहरणों से स्पष्ट हो जायेगा:

उदाहरण: 277167808 का घनमूल

इकाई स्थान से प्रारंभ होने वाले अंकों के ऊपर 'घन (c)' और 'गैर-घन (n)' स्थानों को चिह्नित करें

n	n	c	n	n	c	n	n	c
2	7	7	1	6	7	8	0	8
←

अंतिम घन स्थान (277), 277 - 216 = 61 से अधिकतम संभव घन (6³ = 216) घटाएं। अंतिम 'घन' स्थान के दाईं ओर तीसरे स्थान के नीचे घनमूल (6) लिखें।

n	n	c	n	n	c	n	n	c
	6	1	1	6	7	8	0	8	← शेषफल
				6					← घनमूल की पंक्ति

घनमूल के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करने पर (अर्थात, 3 x 6² = 108 से) शेषफल घनमूल (अर्थात, 611) के वर्ग से एक स्थान कम हो जाता है। यहाँ भागफल 5 है और शेषफल 611 - 540 =71 है। भागफल (5) को घनमूल की पंक्ति में (घनमूल के दाईं ओर) लिखें, हमारे पास है

n	n	c	n	n	c	n	n	c
		7	1	6	7	8	0	8	← शेषफल
				6	5				← घनमूल की पंक्ति

मान लीजिए अब भागफल 5 को 'प्रथम' और घनमूल 6 को 'अंतिम' कहा जाएगा। फिर 'पहले' के वर्ग को 'अंतिम' के तीन गुना से गुणा करने पर (अर्थात, 3×6×5² = 450) को भागफल के स्थान से कम एक स्थान से (अर्थात, 716 से) घटाकर, 716 - 450 = 266 हम प्राप्त करते हैं

n	n	c	n	n	c	n	n	c
		2	6	6	7	8	0	8	← शेषफल
				6	5				← घनमूल की पंक्ति

और 'पहले' का घन (अर्थात, 5³ = 125) को उसके स्थान से (अर्थात 2667 से) घटाने पर, 2667 - 125 = 2542 हमें प्राप्त होता है

n	n	c	n	n	c	n	n	c
		2	5	4	2	8	0	8	← शेषफल
				6	5				← घनमूल की पंक्ति

प्रक्रिया का एक दौर अब ख़त्म हो चुका है; और घनमूल की पंक्ति में खड़ी संख्या 65 बाईं ओर से उसके अंतिम-लेकिन-एक 'घन' स्थान तक दी गई संख्या (277167808) का घनमूल है (अर्थात, 277167)।

चूंकि दाईं ओर एक और 'क्यूब' रखा गया है, इसलिए प्रक्रिया दोहराई जाती है। इस प्रकार, घन-मूल (अर्थात, 65) को अंतिम लेकिन एक 'घन' स्थान से प्रारंभ करते हुए तीसरे स्थान के नीचे रखने पर, हमारे पास है

n	n	c	n	n	c	n	n	c
		2	5	4	2	8	0	8	← शेषफल
						6	5		← घनमूल की पंक्ति

25428 को पहले की तरह 3 x 65² = 12675 से विभाजित करना। यहाँ भागफल 2 है, शेषफल 25428 - 25350 = 78 है और भागफल (2) को घनमूल की पंक्ति में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

n	n	c	n	n	c	n	n	c
					7	8	0	8	← शेषफल
						6	5	2	← घनमूल की पंक्ति

यहाँ भागफल 2 को 'प्रथम' और घनमूल 65 को 'अंतिम' कहा जाता है। फिर 'पहले' के वर्ग को 'अंतिम' के तीन गुना से गुणा करने पर (अर्थात् 3 x 2² x 65 = 780) को भागफल (अर्थात 780 से) से एक स्थान कम करके, 780 - 780 = 0 हम प्राप्त करते हैं

n	n	c	n	n	c	n	n	c
								8	← शेषफल
						6	5	2	← घनमूल की पंक्ति

और अंत में 'पहले' का घन (अर्थात 2³ = 8) को उसके स्थान से (अर्थात 8 में से) घटाने पर 8 - 8 = 0 प्राप्त होता है

n	n	c	n	n	c	n	n	c
								0	← शेषफल
						6	5	2	← घनमूल की पंक्ति

प्रक्रिया का दूसरा दौर अब पूरा हो गया है. अब दाहिनी ओर कोई 'घन' नहीं रखा गया, प्रक्रिया समाप्त हो गई। घनमूल की पंक्ति में मात्रा, अर्थात, 652, दी गई संख्या का घनमूल है। शेषफल शून्य है, घनमूल सटीक है।

277167808 का घनमूल = 652

उदाहरण: 12812904 का घनमूल

इकाई स्थान से प्रारंभ होने वाले अंकों के ऊपर 'घन (c)' और 'गैर-घन (n)' स्थानों को चिह्नित करें

n	c	n	n	c	n	n	c
1	2	8	1	2	9	0	4
←

अंतिम घन स्थान (12) से अधिकतम संभव घन (2³ = 8) घटाएं, 12 - 8 = 4। अंतिम 'घन' स्थान के दाईं ओर तीसरे स्थान के नीचे घनमूल 2 लिखें।

n	c	n	n	c	n	n	c
	4	8	1	2	9	0	4	← शेषफल
			2					← घनमूल की पंक्ति

घनमूल के वर्ग के तीन गुना से भाग देने पर (अर्थात् 3 x 2² = 12 से) शेषफल घनमूल (अर्थात 48) से एक स्थान कम हो जाता है। यहाँ भागफल 3 है और शेषफल 48 - 36 =12 है।शेष प्रक्रियाओं को जारी रखने के लिए, हमने भागफल को 3 के रूप में लिया है, 4 के रूप में नहीं (12 x 4 = 48)। भागफल (3) को घनमूल की पंक्ति में (घनमूल के दाईं ओर) लिखें, हमारे पास है

n	c	n	n	c	n	n	c
	1	2	1	2	9	0	4	← शेषफल
			2	3				← घनमूल की पंक्ति

मान लीजिए अब भागफल 3 को 'प्रथम' और घनमूल 2 को 'अंतिम' कहा जाएगा। फिर 'पहले' के वर्ग को 'अंतिम' के तीन गुना से गुणा करने पर (अर्थात, 3×2×3² = 54) को भागफल के कब्जे वाले स्थान से एक कम स्थान से (अर्थात, 121 से) घटाने पर, 121 - 54 = 67 हम पाते हैं

n	c	n	n	c	n	n	c
		6	7	2	9	0	4	← शेषफल
			2	3				← घनमूल की पंक्ति

और 'पहले' का घन (अर्थात 3³ = 27) को उसके स्थान से (अर्थात 672 से) घटाने पर 672 - 27 = 645 प्राप्त होता है

n	c	n	n	c	n	n	c
		6	4	5	9	0	4	← शेषफल
			2	3				← घनमूल की पंक्ति

प्रक्रिया का एक दौर अब ख़त्म हो चुका है; और घनमूल की पंक्ति में खड़ी संख्या 23 बाईं ओर से उसके अंतिम-लेकिन-एक 'घन' स्थान तक दी गई संख्या (12812904) का घनमूल है (अर्थात, 12812 का)।

चूंकि दाईं ओर एक और 'क्यूब' रखा गया है, इसलिए प्रक्रिया दोहराई जाती है। इस प्रकार, घन-मूल (अर्थात, 23) को अंतिम लेकिन एक 'घन' स्थान से शुरू करते हुए तीसरे स्थान के नीचे रखने पर, हमारे पास है

n	c	n	n	c	n	n	c
		6	4	5	9	0	4	← शेषफल
					2	3		← घनमूल की पंक्ति

6459 को पहले की तरह 3 x 23² = 1587 से विभाजित करना। यहाँ भागफल 4 है, शेषफल 6459 - 6348 = 111 है और भागफल (4) को घनमूल की पंक्ति में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

n	c	n	n	c	n	n	c
			1	1	1	0	4	← शेषफल
					2	3	4	← घनमूल की पंक्ति

यहाँ भागफल 4 को 'प्रथम' और घनमूल 23 को 'अंतिम' कहा जाता है। फिर 'पहले' के वर्ग को 'अंतिम' के तीन गुना से गुणा करने पर (अर्थात् 3 x 23 x 4² = 1104) को भागफल के स्थान से एक कम (अर्थात् 1110 से) घटाने पर 1110 - 1104 = 6 प्राप्त होता है। पाना

n	c	n	n	c	n	n	c
						6	4	← शेषफल
					2	3	4	← घनमूल की पंक्ति

और अंत में 'पहले' (अर्थात, 4³ = 64) के घन को उसके अपने स्थान से (अर्थात् 64 में से) घटाने पर, 64 - 64 = 0 प्राप्त होता है

n	c	n	n	c	n	n	c
							0	← शेषफल
					2	3	4	← घनमूल की पंक्ति

प्रक्रिया का दूसरा दौर अब पूरा हो गया है. अब दाहिनी ओर कोई 'घन' नहीं रखा गया, प्रक्रिया समाप्त हो गई। घनमूल की पंक्ति में मात्रा, अर्थात, 234, दी गई संख्या का घनमूल है। शेषफल शून्य है, घनमूल सटीक है।

12812904 का घनमूल = 234

यह भी देखें

Cube root in Pāṭīgaṇitam