अभाज्य संख्याएँ: Difference between revisions

Revision as of 22:42, 13 September 2023

अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है , जिसमें केवल दो गुणनखंड होते हैं ; स्वयं और $1$ अर्थात यदि $x$ एक अभाज्य संख्या है, तो इसके एकमात्र गुणनखंड $1$ और स्वयं $x$ ही होंगे। एक अभाज्य संख्या को शेषफल, दशमलव या अंश छोड़े बिना किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक से विभाजित नहीं किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में गणितज्ञों द्वारा अभाज्य संख्याओं को अक्सर निर्माण खंड के रूप में देखा जाता है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि एक संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।

उदाहरण

$2,3,5,7,13$ अभाज्य संख्याओं के उदाहरण है ।

ध्यातव्य हो कि $1$ गैर अभाज्य संख्या है , $1$ न ही तो भाज्य होता है , न ही अभाज्य ; यह एक अद्वितीय संख्या है ।

अभाज्य संख्याओं के गुण

अभाज्य संख्याओं के कुछ गुण नीचे सूचीबद्ध हैं:

$1$ से बड़ी प्रत्येक संख्या को कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है ।
$2$ से बड़े प्रत्येक सम धनात्मक पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।
$2$ को छोड़कर अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं अर्थात हम कह सकते हैं कि $2$ एकमात्र सम अभाज्य संख्या है ।
दो अभाज्य संख्याएँ सदैव एक दूसरे की सहअभाज्य होती हैं ।
प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है , और व्यक्तिगत रूप से ये सभी अद्वितीय हैं ।

सहअभाज्य संख्याएँ

दो संख्याएँ एक-दूसरे की सहअभाज्य कहलाती हैं , यदि उनका उच्चतम समापवर्तक $1$ है।

उदाहरण के लिए, $7$ और $13$ सहअभाज्य हैं,

$7=7\times 1$

$13=13\times 1$

क्योंकि, इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल $1$ है; अतः यह दोनों संख्याएं आपस में सहअभाज्य हैं ।

यमज अभाज्य संख्याएं

वे अभाज्य संख्याएं जिनके बीच केवल एक भाज्य संख्या होती है, उन्हें यमज अभाज्य संख्याएं कहा जाता है । सरल शब्दों में हम कह सकते हैं की अभाज्य संख्याओं का ऐसा युग्म जिसमें केवल दो का अंतर होता है , यमज अभाज्य संख्याएं कहलाती है ।

उदाहरण के लिए, $3$ और $5$ यमजअभाज्य संख्याएँ हैं, क्योंकि इन दोनों संख्याओं में $2$ का अंतर है ।

यमज अभाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं

$(5,7)$ $[7-5=2]$
$(11,13)$ $[13-11=2]$
$(17,19)$ $[19-17=2]$
$(29,31)$ $[31-29=2]$
$(41,43)$ $[43-41=2]$
$(59,61)$ $[61-59=2]$

अभ्यास प्रश्न

$31$ से कम सभी अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए?
$30$ और $50$ के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? उनकी सूची बनाइए।
एक अंकीय अभाज्य संख्याएँ कितनी होती हैं? उन्हे लिखें?
दो अंकों की संख्या $9A$ अभाज्य है, $A$ का संभावित मान ज्ञात कीजिए?

@@ Line 1: / Line 1: @@
 [[Category:वास्तविक संख्याएँ]]
+अभाज्य संख्या <math>1</math> से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है , जिसमें केवल दो गुणनखंड होते हैं ; स्वयं और <math>1</math> अर्थात यदि <math>x</math> एक अभाज्य संख्या  है, तो इसके एकमात्र गुणनखंड <math>1</math> और स्वयं <math>x</math> ही होंगे। एक अभाज्य संख्या को शेषफल, दशमलव या अंश छोड़े बिना किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक से विभाजित नहीं किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में गणितज्ञों द्वारा अभाज्य संख्याओं को अक्सर निर्माण खंड के रूप में देखा जाता है। [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय|अंकगणित के मौलिक प्रमेय]] में कहा गया है कि एक संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।
-== अभाज्य संख्याएँ  क्या है? ==
+== उदाहरण  ==
-अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है जिसमें केवल दो गुणनखंड होते हैं - स्वयं और 1 अर्थात यदि x एक अभाज्य संख्या  है, तो इसके एकमात्र गुणनखंड 1 और स्वयं x ही होंगे।
+<math>2, 3, 5, 7, 13</math>  अभाज्य संख्याओं के उदाहरण है ।
-उदाहरण - 2, 3, 5, 7, 13 आदि ।
-एक अभाज्य संख्या को शेषफल, दशमलव या अंश छोड़े बिना किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक से विभाजित नहीं किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में गणितज्ञों द्वारा अभाज्य संख्याओं को अक्सर 'निर्माण खंड' के रूप में देखा जाता है। [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय|अंकगणित के मौलिक प्रमेय]] में कहा गया है कि एक संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+ध्यातव्य हो कि <math>1</math> गैर अभाज्य संख्या है , <math>1</math> न  ही तो भाज्य होता है , न ही अभाज्य ; यह एक अद्वितीय संख्या है ।
-ध्यातव्य हो कि 1 गैर अभाज्य संख्या है , 1 न ही तो भाज्य होता है नहीं अभाज्य, यह एक अद्वितीय संख्या ( unique) है ।
 == [https://byjus.com/maths/prime-numbers/ अभाज्य संख्याओं के गुण] ==
 अभाज्य संख्याओं के कुछ गुण नीचे सूचीबद्ध हैं:
-).  1 से बड़ी प्रत्येक संख्या को कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है।
-).  2 से बड़े प्रत्येक सम धनात्मक पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+# <math>1</math> से बड़ी प्रत्येक संख्या को कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है ।
+# <math>2</math> से बड़े प्रत्येक सम धनात्मक पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।
+# <math>2</math> को छोड़कर अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं  अर्थात हम कह सकते हैं कि <math>2</math> एकमात्र सम अभाज्य संख्या है ।
+# दो अभाज्य संख्याएँ सदैव एक दूसरे की सहअभाज्य होती हैं ।
+# प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है , और व्यक्तिगत रूप से ये सभी अद्वितीय हैं ।
-). 2 को छोड़कर अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं  अर्थात हम कह सकते हैं कि 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
+== सहअभाज्य संख्याएँ ==
+दो संख्याएँ एक-दूसरे की सहअभाज्य कहलाती हैं , यदि उनका उच्चतम समापवर्तक <math>1</math> है।
-).दो अभाज्य संख्याएँ सदैव एक दूसरे की सहअभाज्य होती हैं।
+उदाहरण के लिए,  <math>7</math> और <math>13</math> सहअभाज्य हैं,
-).प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है , और व्यक्तिगत रूप से ये सभी अद्वितीय हैं।
-== सहअभाज्य संख्याएँ ==
-दो संख्याएँ एक-दूसरे की सहअभाज्य ( co primes) कहलाती हैं , यदि उनका उच्चतम समापवर्तक ( hcf) 1 है।
-उदाहरण के लिए,  7 और 13 सहअभाज्य हैं,
-= 7 ×1
+<math>7= 7\times1</math>
-= 13 × 1
+<math>13= 13\times1</math>
-क्योंकि, इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड  ( common factor) केवल 1 है; अतः यह दोनों संख्याएं आपस में  सहअभाज्य  हैं ।
+क्योंकि, इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल <math>1</math> है; अतः यह दोनों संख्याएं आपस में सहअभाज्य  हैं ।
 == यमज अभाज्य संख्याएं ==
-वे अभाज्य संख्याएं जिनके बीच केवल एक भाज्य संख्या होती है, उन्हें यमज अभाज्य संख्याएं  कहा जाता है।  सरल शब्दों में हम कह सकते हैं, की अभाज्य संख्याओं का ऐसा   युग्म  जिसमें केवल दो का अंतर होता है  , यमज अभाज्य संख्याएं कहलाती है  ।
+वे अभाज्य संख्याएं जिनके बीच केवल एक भाज्य संख्या होती है, उन्हें यमज अभाज्य संख्याएं  कहा जाता है । सरल शब्दों में हम कह सकते हैं की अभाज्य संख्याओं का ऐसा युग्म जिसमें केवल दो का अंतर होता है , यमज अभाज्य संख्याएं कहलाती है ।
-उदाहरण  के लिए,  3 और 5 यमजअभाज्य संख्याएँ हैं, क्योंकि इन दोनों संख्याओं में  दो का अंतर है  ।   ( 5 - 3 = 2)
-यमज अभाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं:
-(5, 7)        [7 - 5 = 2]
-(11, 13)   [13 - 11 = 2]
-(17, 19)   [19 - 17 = 2]
-(29, 31)    [31 - 29 = 2]
-(41, 43)    [43 - 41 = 2]
+उदाहरण के लिए, <math>3</math> और <math>5</math> यमजअभाज्य संख्याएँ हैं, क्योंकि इन दोनों संख्याओं में  <math>2</math>  का अंतर है ।
-(59, 61)     [61 - 59 = 2]
+यमज अभाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं
-(71, 73)     [73 - 71 = 2]
+# <math>(5, 7)</math>      <math>[7 - 5 = 2]</math>
+# <math>(11,13)</math>   <math>[13 - 11= 2]</math>
+# <math>(17,19)</math>   <math>[19 - 17= 2]</math>
+# <math>(29,31)</math>   <math>[31 - 29= 2]</math>
+# <math>(41,43)</math>   <math>[43 - 41= 2]</math>
+# <math>(59,61)</math>    <math>[61 - 59= 2]</math>
 == अभ्यास प्रश्न ==
-# 31 से कम सभी अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए?
+# <math>31</math> से कम सभी अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए?
-# 30 और 50 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? उनकी सूची बनाइए।
+# <math>30</math> और <math>50</math> के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? उनकी सूची बनाइए।
 # एक अंकीय अभाज्य संख्याएँ कितनी होती हैं? उन्हे लिखें?
-# दो अंकों की संख्या 9A अभाज्य है, A का संभावित मान ज्ञात कीजिए?
+# दो अंकों की संख्या <math>9A</math> अभाज्य है, <math>A</math> का संभावित मान ज्ञात कीजिए?
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]