AP का nवाँ पद: Difference between revisions
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आइए हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन ( | आइए , हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन (AP) अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या अभिप्राय होता है ? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है , ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं । | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
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# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math> | # <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math> | ||
== | उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयो का उदाहरण है । | ||
इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर <math>d</math> को <math>(n-1)</math> से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात a में जोड़ेंगे | |||
== समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप == | |||
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है । | |||
<math>a , a+d , a+2d , a+3d , a+4d , a+5d , a+6d,.....</math> | |||
जहां <math>a</math> प्रथम पद तथा <math>d</math> सार्व अंतर है । | |||
== समांतर श्रेढ़ी के <math>n^{th}</math> पद का सूत्र == | |||
मान लीजिए <math>a_1 , a_2 , a_3 ,....</math> एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है । | |||
तब , दूसरा पद <math>a_2=a+d</math> | |||
<math>a_2=a+ (2-1)d</math> | |||
तीसरा पद <math>a_3=a_2+d</math> | |||
<math>a_3=(a+d)+d</math> | |||
<math>a_3= a+ (3-1)d</math> | |||
चौथा पद a4 = ए3 + डी = (ए + 2डी) + डी = ए + 3डी = ए + (4 - 1) डी | |||
इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर <math>d</math> को <math>(n-1)</math> से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात <math>a</math> में जोड़ेंगे । | |||
<math>a_n=a+(n-1)d</math> | <math>a_n=a+(n-1)d</math> | ||
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<math>d =</math> सार्व अंतर | <math>d =</math> सार्व अंतर | ||
=== उदाहरण 1 | === उदाहरण 1 === | ||
1) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये। | 1) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये। | ||
हल | हल | ||
पहला पद <math>a = 12</math> | |||
सार्व अंतर <math>d=18-12=6</math> | |||
पदों की संख्या <math>n= 9</math> | |||
<math>9^{th}</math> पद <math>a_9</math> <math>= ?</math> | |||
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा , <math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
मान रखने पर , | |||
<math>a_9 = 12 + (9 - 1)6</math> | |||
<math>a_9 = 12 + (8)6 </math> | |||
<math>a_9=12+48</math> | |||
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का <math>9^{th}</math> पद <math>60</math> है। | |||
=== उदाहरण 2 === | |||
समान्तर श्रेढ़ी <math>8, 12, 16,...</math> का कौन सा पद <math>400</math> है? | |||
हल | |||
= | प्रथम पद <math>a=8</math> | ||
= | सार्व अंतर <math>d = 12- 8 = 4</math> | ||
<math>n^{th}</math> पद <math>a_n = 400</math> | |||
पदों की संख्या <math>n= ?</math> | |||
सूत्र , <math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
मान रखने पर , | |||
400= 8 + (n | <math>400= 8 + (n - 1)4</math> | ||
400 | <math>400 - 8 = 4n - 4</math> | ||
392 = 4n | <math>392 = 4n - 4</math> | ||
392 + 4 = 4n | <math>392 + 4 = 4n</math> | ||
4n = 396 | <math>4n = 396</math> | ||
n = 396/ | <math>n=\frac{396}{4}</math> | ||
n = 99 | <math>n = 99</math> | ||
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल 99 पद हैं । | अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल <math>99</math> पद हैं । | ||
== अभ्यास प्रश्न == | |||
1. समांतर श्रेढ़ी 2, 7 ,12 ... | 1. समांतर श्रेढ़ी <math>2, 7, 12,...</math> का दसवां पद क्या होगा ? | ||
2. समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15 ... | 2. समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ? |
Revision as of 10:43, 15 September 2023
आइए , हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन (AP) अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या अभिप्राय होता है ? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है , ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।
उदाहरण
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयो का उदाहरण है ।
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।
जहां प्रथम पद तथा सार्व अंतर है ।
समांतर श्रेढ़ी के पद का सूत्र
मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद तथा सार्व अंतर है ।
तब , दूसरा पद
तीसरा पद
चौथा पद a4 = ए3 + डी = (ए + 2डी) + डी = ए + 3डी = ए + (4 - 1) डी
इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर को से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात में जोड़ेंगे ।
यहाँ, = पद
पहला पद
पदों की संख्या
सार्व अंतर
उदाहरण 1
1) समान्तर श्रेढ़ी का पद ज्ञात कीजिये।
हल
पहला पद
सार्व अंतर
पदों की संख्या
पद
पद के सूत्र द्वारा ,
मान रखने पर ,
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद है।
उदाहरण 2
समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद है?
हल
प्रथम पद
सार्व अंतर
पद
पदों की संख्या
सूत्र ,
मान रखने पर ,
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हैं ।
अभ्यास प्रश्न
1. समांतर श्रेढ़ी का दसवां पद क्या होगा ?
2. समांतर श्रेढ़ी का कौन सा पद होगा ?