बहुपद

बहुपद चर, अचर और घातांक (केवल पूर्ण संख्याएँ) की संयुक्त अभिव्यक्ति है , जिसमें अंकगणितीय व्यंजक जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग सम्मिलित होते हैं। सरल शब्दों में कहें तो, बीजगणित में धन $(+)$ और ऋण $(-)$ चिह्नों से संबंद्ध कई पदों के व्यंजक को बहुपद कहते हैं।

$5y^{2}+19y$ , $10x$ , $z^{3}$, $-99$ आदि बहुपद के कुछ उदाहरण हैं ।

बहुपद का मानक रूप

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+........+a_{1}x+a_{0}$

जहाँ $a_{n},a_{n-1},a_{n-2},.............,a_{1},a_{0}$ को $x^{n},x^{n-1},x^{n-2},......x$ का गुणांक कहा जाता है तथा $P(x)$ बहुपद हैं ।

बहुपद की पहचान

यदि किसी व्यंजक के सभी पदों की घात एक धनात्मक पूर्णाक होती हो , तो वह बहुपद कहलाता हैं। यदि किसी व्यंजक की घात, भिन्न, ऋणात्मक पूर्णाक या अपरिमेय संख्या होती है , तो वह बहुपद नहीं कहलाता हैं।

उदाहरण

$9x^{2}-x+8$ एक बहुपद है , क्योकि $x$ की घात धनात्मक हैं ।

${\sqrt {x}}+{\sqrt {2}}$ एक बहुपद नहीं है , क्योकि $x$ की घात परिमेय संख्या हैं ।

$z^{-2}+9$ एक बहुपद नही है , क्योंकि $z$ की घात ऋणात्मक हैं ।

बहुपद का निरूपण

बहुपद फलन को $P(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है , जहाँ $x$ चर का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए $P(x)=4x^{3}+2$

यदि चर को $a$ द्वारा निरूपित किया जाता है , तो बहुपद का निरूपण $P(a)$ द्वारा होगा ।

बहुपद की घात

यदि $P(x)$ एक बहुपद  है, तो चर $x$ की उच्चतम घात बहुपद की घात  कहलाती है ।

उदाहरण

बहुपद $19c^{45}+34c^{7}+987$ की घात ज्ञात कीजिए ।

उपर्युक्त दिए गए बहुपद में चर $c$ की उच्चतम घात $45$ है , अतः बहुपद की घात 45 होगी ।

घात के आधार पर बहुपदों का विभाजन

घात के आधार पर बहुपदों को निम्न वर्गों में विभाजित किया गया है :

1) रैखिक बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात एक हो , उन्हें हम रैखिक बहुपद कहते हैं । हम रैखिक बहुपद को $ax+b$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : $2x-9,4z+8$

2) द्विघात बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात दो हो , उन्हें हम द्विघात बहुपद कहते हैं । हम द्विघात बहुपद को $ax^{2}+bx+c$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : $2x^{2}-9x-9,4z^{2}+8$

3) घन बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात तीन हो , उन्हें हम घन बहुपद कहते हैं । हम घन बहुपद को $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b,c,d$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : $2-x^{3},9x^{3}-4x^{2}+3x+1$

पदों के आधार पर बहुपदों का विभाजन

पदों के आधार पर बहुपदों का विभाजन निम्नलिखित है ,

1) एकलपद : ऐसे व्यंजक जिनमें एक ही पद होता है , उन्हें हम एकलपद कहते हैं । उदाहरण : $9z^{2},3x$

2) द्विपद : ऐसे व्यंजक जिनमें दो पद होते हैं , उन्हें हम द्विपद कहते हैं । उदाहरण : $8t+3,10y^{2}-70$

3) त्रिपद : ऐसे व्यंजक जिनमें तीन पद होते हैं , उन्हें हम त्रिपद कहते हैं । उदाहरण : $7x^{3}+7x+9,9z^{2}+9z+3$

बहुत से ऐसे व्यंजक होते हैं , जिनमें तीन से अधिक पद होते हैं , उन्हें हम बहुपदों की श्रेणी में रखते हैं ।

अभ्यास प्रश्न

1. बहुपद $p(x)=4x^{2}+8x$ का शून्यक ज्ञात कीजिए ।
2. बहुपद $p(t)=t^{2}-15$ का शून्यक ज्ञात कीजिए ।
3. बहुपद $9z^{14}+5z^{4}+7$ की घात ज्ञात कीजिए ।