प्रायोगिक प्रायिकता

किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

विशेषताएं

प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

1. प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
2. इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
3. प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
4. प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
5. सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र

प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

$P(E)=$किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , $P(E)$ प्रायोगिक प्रायिकता है ।

उदाहरण

1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का $4040$ बार उछाला और $2048$ चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता $=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या $={\frac {2048}{4040}}$ $=0.507$

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को $10000$ बार उछाला और $5067$ चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता $=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या $={\frac {5067}{10000}}$ $=0.5067$

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को $24000$ बार उछाला और $12012$ चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता $=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या $={\frac {12012}{24000}}$ $=0.5005$

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या $0.5$ अर्थात, ${\frac {1}{2}}$ के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की सैद्धांतिक प्रायिकता कहते हैं ।

उदाहरण 1

एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है और तीनों बार चित दिखाई देता है, सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या $=5$ ( एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है )

चित आने की कुल संख्या $=3$ ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

सिक्का उछालने पर पट दिखने की संख्या $=0$

सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

$P(E)=$किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

$P(E)={\frac {0}{5}}$

$P(E)=0$

अतः , सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता $0$ होगी ।

उदाहरण 2

इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार किए गए केक की संख्या $4,7,6,9,5,9$ और $5$ के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन $6$ से कम केक बनाएगा  ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या $=7$ ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन $6$ से कम केक तैयार करने की कुल संख्या $=3$ ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार $6$ से कम केक तैयार करने की संख्या $4,5,5$ है , अर्थात कुल संख्या $3$ होगी )

अगले दिन $6$ से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

$P(E)=$किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

$P(E)={\frac {3}{7}}$

$P(E)=0.428$

अतः , अगले दिन $6$ से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता $0.428$ होगी ।

उदाहरण 3

निम्नलिखित तालिका $6$ तरफा पासे को $80$ बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है

परिणाम	आवृत्ति
1	13
2	10
3	15
4	14
5	12
6	11

$4$ से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

दी गयी तालिका के अनुसार $4$ से कम संख्या $(1,2,3)$ आने की की कुल संख्या $=13+10+15=38$

परीक्षणों की कुल संख्या $=80$ ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

$4$ से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

$P(E)=$किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

$P(E)={\frac {38}{80}}$

$P(E)=0.475$

अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , $4$ से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता $0.475$ होगी ।