सारणिकों के गुणधर्म: Difference between revisions

Revision as of 15:25, 24 January 2024

न्यूनतम गणना के साथ सारणिकों का मान ज्ञात करने के लिए सारणिकों के गुणों की आवश्यकता होती है। सारणिकों के गुण अवयवों, पंक्ति और स्तंभ संचालन पर आधारित होते हैं, और यह सारणिक का मान अति सुलभ विधि से ज्ञात करने में सहायता करता है।

सारणिकों के गुणधर्म

परस्पर परिवर्तन गुणधर्म

यदि किसी सारणिक की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है।

पंक्तियों और स्तंभों की परस्पर परिवर्तन से पहले

$\bigtriangleup ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$

पंक्तियों और स्तंभों की परस्पर परिवर्तन के बाद

$\bigtriangleup _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =\bigtriangleup _{1}$

सत्यापन

$\bigtriangleup =a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})$

$\bigtriangleup =a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$

$\bigtriangleup _{1}=a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}-b_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}+c_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup _{1}=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-b_{1}(a_{2}c_{3}-c_{2}a_{3})+c_{1}(a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3})$

$\bigtriangleup _{1}=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{2}c_{1}$

अत: $\bigtriangleup =\bigtriangleup _{1}$

यदि आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाता है, तो आव्यूह का परिवर्त प्राप्त होता है और सारणिक मान और परिवर्त का सारणिक समान होते हैं।

चिन्ह गुणधर्म

यदि किन्हीं दो पंक्तियों या किन्हीं दो स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो सारणिक के मान का चिह्न बदल जाता है।

$\bigtriangleup ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$

किन्हीं दो पंक्तियों के परस्पर परिवर्तन के बाद

$\bigtriangleup _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =\bigtriangleup _{1}$

सत्यापन

$\bigtriangleup =a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})$

$\bigtriangleup =a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$

$\bigtriangleup =a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}$

शून्य गुणधर्म

गुणन गुणधर्म

योग गुणधर्म

अपरिवर्तनीय गुणधर्म

त्रिकोणीय गुणधर्म

@@ Line 4: / Line 4: @@
 === परस्पर परिवर्तन गुणधर्म ===
-The value of a determinant remains unchanged if the rows and the columns of a determinant are interchanged.
+यदि किसी सारणिक की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है।
-Before the rows and the columns are interchanged
+पंक्तियों और स्तंभों की परस्पर परिवर्तन से पहले
 <math>\bigtriangleup=     \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>
-After the rows and the columns are interchanged
+पंक्तियों और स्तंभों की परस्पर परिवर्तन के बाद
 <math>\bigtriangleup_1=     \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}</math>
@@ Line 16: / Line 16: @@
 <math>\bigtriangleup=\bigtriangleup_1</math>
-'''Verification'''
+'''सत्यापन'''
 <math>\bigtriangleup=  a_1   \begin{vmatrix}  b_2 & b_3 \\  c_2 & c_3 \end{vmatrix} - a_2   \begin{vmatrix}  b_1 & b_3 \\  c_1 & c_3 \end{vmatrix} + a_3   \begin{vmatrix}  b_1 & b_2 \\  c_1 & c_2 \end{vmatrix}</math>
@@ Line 32: / Line 32: @@
 <math>\bigtriangleup_1=  a_1b_2c_3-a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3+a_3b_1c_2+a_2 b_3c_1-a_3b_2c_1 </math>
-Hence <math>\bigtriangleup=\bigtriangleup_1</math>
+अत:  <math>\bigtriangleup=\bigtriangleup_1</math>
-If the rows and columns of the matrix are interchanged, then the transpose of the matrix is obtained and the determinant value and the determinant of the transpose are equal.
+यदि आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाता है, तो आव्यूह का परिवर्त प्राप्त होता है और सारणिक मान और परिवर्त का सारणिक समान होते हैं।
 === चिन्ह गुणधर्म ===
-If any two rows or any two columns are interchanged, the sign of the value of the determinant changes.
+यदि किन्हीं दो पंक्तियों या किन्हीं दो स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो सारणिक के मान का चिह्न बदल जाता है।
 <math>\bigtriangleup=     \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>
-After changing any two rows
+किन्हीं दो पंक्तियों के परस्पर परिवर्तन के बाद
 <math>\bigtriangleup_1=     \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}</math>
@@ Line 47: / Line 47: @@
 <math>\bigtriangleup=\bigtriangleup_1</math>
-'''Verification'''
+'''सत्यापन'''
 <math>\bigtriangleup=  a_1   \begin{vmatrix}  b_2 & b_3 \\  c_2 & c_3 \end{vmatrix} - a_2   \begin{vmatrix}  b_1 & b_3 \\  c_1 & c_3 \end{vmatrix} + a_3   \begin{vmatrix}  b_1 & b_2 \\  c_1 & c_2 \end{vmatrix}</math>