केंद्रीय बल

Central forces

केंद्रीय बल वह बल है जो रेडियल रूप से इंगित करता है और परिमाण स्रोत से दूरी पर निर्भर करता है। केंद्रीय बलों के उदाहरण गुरुत्वाकर्षण बल, इलेक्ट्रोस्टैटिक बल और स्प्रिंग बल हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, किसी वस्तु पर केंद्रीय बल वह बल होता है जो किसी बिंदु की ओर या उससे दूर निर्देशित होता है जिसे बल का केंद्र कहा जाता है।

${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}}$,

जहां${\vec {F}}$ बल है, $F$ एक सदिश मान बल फलन है, $F$ एक अदिश मान बल फलन है, $r$ स्थिति सदिश है, $||r||$ इसकी लंबाई है, और संबंधित इकाई वेक्टर ${\hat {r}}={\frac {\vec {r}}{||r||}},$ है।

सभी केंद्रीय बल क्षेत्र संरक्षात्मक या गोलाकार रूप से सममित नहीं हैं। हालाँकि, एक केंद्रीय बल तभी संरक्षात्मक होता है जब वह गोलाकार रूप से सममित या घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय हो।

गुण

केंद्रीय बल जो संरक्षात्मक हैं, उन्हें सर्वथा स्थितिज ऊर्जा के नकारात्मक ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )$, जहां $V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)$,$\mathrm {d} r$,

एकीकरण की ऊपरी सीमा यादृच्छिक है, क्योंकि स्थितिजता को एक योगात्मक स्थिरांक तक परिभाषित किया गया है)।

(एकीकरण की ऊपरी सीमा मनमाना है, क्योंकि क्षमता को एक योगात्मक स्थिरांक तक परिभाषित किया गया है)।

एक संरक्षात्मकक्षेत्र में, कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज और क्षमता) संरक्षित होती है:

ई = 1 2 मीटर | आर ˙ | 2 1 2 मैं | ω | 2 वी (आर) = स्थिरांक

{डिस्प्लेस्टाइल E={tfrac {1}{2}}m|mathbf {dot {r}} |^{2} {tfrac {1}{2}}I| }|^{2} V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}

(जहाँ 'ṙ' समय के संबंध में 'r' के व्युत्पन्न को दर्शाता है, जो कि वेग है, 'I' उस पिंड की जड़ता के क्षण को दर्शाता है और 'ω' कोणीय वेग को दर्शाता है), और एक केंद्रीय बल क्षेत्र में, ऐसा ही है कोणीय गति:

एल = आर × एम आर ˙ = स्थिरांक

{डिस्प्लेस्टाइल मैथबीएफ {एल} =मैथबीएफ {आर} टाइम्स एममैथबीएफ डॉट {आर}} = टेक्स्ट टेक्स्ट

क्योंकि बल द्वारा लगाया गया टॉर्क शून्य है। परिणामस्वरूप, पिंड कोणीय संवेग वेक्टर के लंबवत और मूल बिंदु वाले तल पर चलता है, और केप्लर के दूसरे नियम का पालन करता है। (यदि कोणीय गति शून्य है, तो पिंड मूल बिंदु से जुड़ने वाली रेखा के अनुदिश गति करता है।)

यह भी दिखाया जा सकता है कि जो वस्तु किसी केंद्रीय बल के प्रभाव में चलती है वह केप्लर के दूसरे नियम का पालन करती है। हालाँकि, पहला और तीसरा नियम न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की व्युत्क्रम-वर्ग प्रकृति पर निर्भर करता है और सामान्य रूप से अन्य केंद्रीय बलों के लिए लागू नहीं होता है।