समुच्चय और उनका निरूपण

समुच्चय वस्तुओं का एक संगठित संग्रह है और इसे समुच्चय निर्माण- रूप(समुच्चय-बिल्डर फॉर्म) या सारणीबद्ध रूप(रोस्टर फॉर्म) में दर्शाया जा सकता है। साधारणतः, समुच्चय को धनुःकोष्ठक {} में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, ए = {1,2,3,4} एक समुच्चय है।

समुच्चय की परिभाषा

समुच्चय को अच्छी तरह से परिभाषित वस्तुओं या अवयवों के संग्रह के रूप में दर्शाया जाता है और यह एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति के लिए भिन्न-भिन्न हो सकता है। एक समुच्चय को प्रायः अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षर(कैपिटल लेटर) द्वारा दर्शाया जाता है। परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या समुच्चय की गणन संख्या के रूप में जानी जाती है।

समुच्चय के अवयव

आइए एक उदाहरण लें:

$A=\{1,2,3,4,5\}$

समुच्चय को अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षर से दर्शाया गया है। यहाँ, $A$ समुच्चय है और $\{1,2,3,4,5\}$ समुच्चय के अवयव या समुच्चय के सदस्य हैं। समुच्चय में जो अवयव लिखे गए हैं वे किसी भी क्रम में हो सकते हैं लेकिन दोहराए नहीं जा सकते। वर्णमाला के स्थिति में सभी समुच्चय अवयवों को अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों में दर्शाया गया है। इसके अलावा, हम इसे $1\in A,2\in A$ ($1$ $A$ से संबंधित है} , $2$ $A$ से संबंधित है) आदि के रूप में लिख सकते हैं। समुच्चय की गणन संख्या $5$ है। कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले समुच्चय इस प्रकार हैं:

• $N:$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
• $Z:$ सभी पूर्णांकों का समुच्चय
• $Q:$ सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय
• $R:$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
• $Z^{+}:$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों का समुच्चय

समुच्चय का क्रम

किसी समुच्चय का क्रम उस समुच्चय में उपस्थित अवयवों की संख्या को परिभाषित करता है। यह एक समुच्चय के आकार का वर्णन करता है। समुच्चय के क्रम को कार्डिनैलिटी के रूप में भी जाना जाता है।

समुच्चय का आकार चाहे वह परिमित समुच्चय हो या अपरिमित समुच्चय, क्रमशः परिमित क्रम या अपरिमित क्रम का समुच्चय कहलाता है।

समुच्चयों का निरूपण

किसी समुच्चय का निरूपण करने की दो विधियाँ हैं:

• रोस्टर या सारणीबद्ध रूप
• समुच्चय निर्माण- रूप

रोस्टर या सारणीबद्ध रूप

रोस्टर या सारणीबद्ध रूप में, एक समुच्चय के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है, अवयवों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और धनुःकोष्ठक { } के भीतर संलग्न किया जाता है।

उदाहरण:

1. 7 से कम सभी सम धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को रोस्टर या सारणीबद्ध रूप में $\{2,4,6\}$ के रूप में वर्णित किया गया है।

2. 42 को विभाजित करने वाली सभी प्राकृत संख्याओं का समूह $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ है।

टिप्पणी: रोस्टर या सारणीबद्ध रूप में, अवयवों को सूचीबद्ध करने का क्रम महत्वहीन है। इस प्रकार, उपरोक्त समुच्चय को $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

3. अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का समुच्चय $\{a,e,i,o,u\}$ है।

4. विषम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को $\{1,3,5,......\}$ द्वारा दर्शाया जाता है। बिंदु हमें बताते हैं कि विषम संख्याओं की सूची अंतहीन है।

समुच्चय निर्माण- रूप

समुच्चय निर्माण- रूप में, समुच्चय के सभी अवयवों में सर्वनिष्ठ गुणधर्म होता है जो समुच्चय के बाहर किसी भी अवयव मे नहीं होता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय $\{a,e,i,o,u\}$ में, सभी अवयवों में एक सर्वनिष्ठ गुणधर्म होता है, अर्थात्, उनमें से प्रत्येक अवयव अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है, और किसी अन्य अक्षर में यह गुणधर्म नहीं होता है। इस समुच्चय को V से निरूपित करते हुए हम लिखते हैं

$V=\{x:x$ अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है$\}$

यह देखा जा सकता है कि हम समुच्चय के अवयव का वर्णन प्रतीक $x$ (किसी अन्य प्रतीक जैसे अक्षर $y$, $z$, आदि का भी उपयोग किया जा सकता है) का उपयोग करके करते हैं, जिसके बाद एक कोलन ":" होता है। कोलन के चिह्न के बाद, हम समुच्चय के अवयवों के पास उपस्थित विशिष्ट गुण लिखते हैं और फिर संपूर्ण विवरण को धनुःकोष्ठक के भीतर संलग्न करते हैं। समुच्चय $V$ के उपरोक्त विवरण को "सभी $x$ का समुच्चय इस प्रकार पढ़ा जाता है कि $x$ अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है"। इस विवरण में धनुःकोष्ठक का अर्थ "सभी $x$ का समुच्चय" है, कोलन का अर्थ "जहाँ $x$ " है।

उदाहरण के लिए, समुच्चय $A=\{x:x$ एक प्राकृत संख्या है और $3<x<10$$\}$ को "सभी $x$ का समुच्चय इस प्रकार पढ़ा जाता है कि $x$ एक प्राकृत संख्या है और $x$ $3$ और $10$ के बीच स्थित है।" अतः संख्याएँ $4,5,6,7,8,9$ समुच्चय $A$ के अवयव हैं।

यदि हम उपरोक्त 2 , 3, 4 और (c) में वर्णित समुच्चयों को क्रमशः A, B और C द्वारा रोस्टर या सारणीबद्ध रूप में दर्शाते हैं, तो A, B और C को समुच्चय निर्माण- रूप में इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है :

$A=\{x:x$ एक प्राकृत संख्या है जो 42 को विभाजित करती है$\}$

$B=\{y:y$ अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है$\}$

$C=\{z:z$ एक विषम प्राकृत संख्या है$\}$

Problems

1. Write the set $\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{6}},{\frac {6}{7}}\}$

Solution: Here each member in the given set has the numerator one less than the denominator. Also, the numerator begin from $1$ and do not exceed $6$.

Hence, in the set-builder form

the given set is $\{x:x={\frac {n}{n+1}}$ , where n is natural number and $1\leq n\leq 6\}$

2. Write the set $\{x:x$ is a positive integer and $x^{2}=40\}$ in the roster form.

Solution: The required numbers are $1,2,3,4,5,6$. So, the given set in the roster form is $\{1,2,3,4,5,6}\$.