समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन: Difference between revisions

Revision as of 11:39, 3 April 2024

यहां हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के अवयवों के युग्म को कैसे श्रृंखलित किया जाए और फिर शृंखला में दो अवयवों के बीच संबंध कैसे प्रस्तुत किया जाए।

समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा

दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए गए हैं, सभी क्रमित युग्म $(x,y)$ का समुच्चय, जहां $x\in A$ और $y\in B$ को $A$ और $B$ का कार्टेशियन गुणन कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं

$AXB=\{(x,y):x\in A,y\in B\}$

यदि $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{4,5\}$ , तब

$AXB=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}$

$BXA=\{(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)\}$

समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन

दो अरिक्त समुच्चय $P$ और $Q$ दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन $PXQ$ , $P$ और $Q$ से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,

$PXQ=\{(p,q):p\in P,q\in Q\}$

यदि $P$ या $Q$ शून्य समुच्चय है, तो $PXQ$ भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, $PXQ=\emptyset$

कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है?

समुच्चय $A$ और $B$ के कार्टेशियन गुणन का गणनांक $AXB$ में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी

मान लीजिए $p$ , $A$ के अवयवों की संख्या है और $q$ , $B$ में अवयवों की संख्या है।

तो, $A$ और $B$ के कार्टेशियन गुणन में अवयवों की संख्या $pq$ है

अर्थात यदि $n(A)=p,n(B)=q$ तब $n(AXB)=pq$

समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन

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 == समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा ==
-मान लीजिए A और B दो समुच्चय इस प्रकार हैं कि A तीन रंगों की मेजों का एक समुच्चय है और B तीन रंगों की कुर्सियों वाली वस्तुओं का एक समुच्चय है, अर्थात
+दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए गए हैं, सभी क्रमित युग्म <math>(x,y)</math> का समुच्चय, जहां <math>x\in A</math>और <math>y\in B</math>  को <math>A</math> और <math>B</math> का कार्टेशियन गुणन कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं
-<math>A=\{</math>भूरा, हरा, पीला<math>\}</math>
+<math>A X B=\{(x,y): x \in A, y \in B \}</math>
-<math>B=\{</math>लाल, नीला, बैंगनी<math>\}</math>
+यदि <math>A=\{1,2,3\}</math> और <math>B=\{4,5\}</math>, तब
-आइए विभिन्न संयोजनों में टेबल और कुर्सियों के एक समुच्चय से रंगीन वस्तुओं के युग्मों की संख्या ज्ञात करें जिन्हें हम बना सकते हैं।
+<math>A X B=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \}</math>
-इन्हें नीचे दिए गए अनुसार श्रृंखलित किया जा सकता है:
+<math>B X A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3) \}</math>
-(भूरा, लाल), (भूरा, नीला), (भूरा, बैंगनी), (हरा, लाल), (हरा, नीला), (हरा, बैंगनी), (पीला, लाल), (पीला, नीला), (पीला) , बैंगनी)
+=== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ===
-कार्टेशियन गुणनफल में ऐसे नौ युग्म हैं क्योंकि प्रत्येक परिभाषित समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> में तीन अवयव हैं। उपरोक्त क्रमित युग्म दिए गए समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह गुणन <math>A X B</math> द्वारा दर्शाया गया है।
-== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==
 दो अरिक्त समुच्चय  <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,
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 यदि <math>P</math> या <math>Q</math>  शून्य समुच्चय है, तो <math>P X Q</math> भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, <math>P X Q = \emptyset</math>
-== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==
+=== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ===
 समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math>  के कार्टेशियन गुणन का गणनांक <math>A X B</math>  में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी
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 अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>
+=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===
 [[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]