शेषफल प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 19:32, 10 May 2024

जब एक बहुपद को एक रैखिक बहुपद द्वारा विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किया जाता है।

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है"।

उदाहरण

बहुपद $p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$ को $x+1$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए


	$3x^{2}-2x+4$
$x+1$	$3x^{3}$	$+$	$x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
	$3x^{3}$	$+$	$3x^{2}$
		$-$	$2x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
		$-$	$2x^{2}$	$-$	$2x$
				$+$	$4x$	$+$	$5$
				$+$	$4x$	$+$	$4$
							1

यहाँ, भागफल = $3x^{2}-2x+4$

शेषफल = $1$

सत्यापन:

दिया गया है कि भाजक $x+1$ है, अर्थात यह दिए गए बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

मान लीजिए $x+1=0$

$x=-1$

$x=-1$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर ,

$p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$

$p(-1-)=3(-1)^{3}+(-1)^{2}+2(-1)+5$

$p(-1-)=3(-1)+1-2+5$

$p(-1-)=-3+1-2+5$

$p(-1-)=1$

शेषफल = $x=-1$ पर $p(x)$ का मान ।

अतः शेषफल प्रमेय सिद्ध हो गया।

@@ Line 2: / Line 2: @@
 == शेषफल प्रमेय ==
-शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math> होता है"
+शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math> होता है"।
-== Example ==
+== उदाहरण ==
-Find the remainder when the polynomial <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math> is divided by <math>x+1</math>.
+बहुपद <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math> को <math>x+1</math> से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए
 {| class="wikitable"
 |+
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 |'''1'''
 |}
-Here, quotient = <math>3x^2 -2x+4</math>
+यहाँ, भागफल = <math>3x^2 -2x+4</math>
-Remainder = <math>1</math>
+शेषफल = <math>1</math>
-'''Verification :'''
+'''सत्यापन:'''
-Given, the divisor is <math>x+1</math>, i.e. it is a factor of the given polynomial <math>p(x)</math>
+दिया गया है कि भाजक <math>x+1</math> है, अर्थात यह दिए गए बहुपद <math>p(x)</math> का एक गुणनखंड है।
-Let <math>x+1=0</math>
+मान लीजिए  <math>x+1=0</math>
 <math>x=-1</math>
-Substituting <math>x=-1</math> in <math>p(x)</math>,
+<math>x=-1</math> को <math>p(x)</math> में प्रतिस्थापित करने पर ,
 <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math>
@@ Line 78: / Line 78: @@
 <math>p(-1-)=1</math>
-Remainder  = Value of <math>p(x)</math> at <math>x=-1</math>.
+शेषफल  = <math>x=-1</math> पर  <math>p(x)</math> का मान ।
-Hence proved the remainder theorem.
+अतः शेषफल प्रमेय सिद्ध हो गया।
 [[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]