दूरी-सूत्र: Difference between revisions

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== दूरी-सूत्र व्युत्पत्ति ==
== दूरी-सूत्र व्युत्पत्ति ==
Let us find the distance between two points <math>A(x_1,y_1)
आइए चित्र-1 में दर्शाए गए दो बिंदुओं <math>A(x_1,y_1)
</math>and <math>B(x_2,y_2)
</math> और <math>B(x_2,y_2)
</math> shown Fig.1
</math> के बीच की दूरी ज्ञात करें


Draw <math>AD
<math>x-
</math> and <math>BE
</math>अक्ष पर लंबवत <math>AD
</math> perpendicular to the <math>x-
</math> और <math>BE
</math>axis. A perpendicular from the point <math>A
</math> खींचिए। <math>BE
</math> on <math>BE
</math> पर बिंदु <math>A
</math> is drawn to meet it at the point <math>C
</math> से एक लंबवत बिंदु <math>C
</math>.
</math> पर मिलने के लिए खींचा जाता है।


Then, <math>OD=x_1
तो, <math>OD=x_1
</math> , <math>OE=x_2
</math>, <math>OE=x_2
</math>. So, <math>DE=x_2-x_1=AC
</math> तो <math>DE=x_2-x_1=AC
</math>. Also, <math>EB=y_2
</math> । साथ ही C<math>EB=y_2
</math> , <math>EC=AD=y_1
</math>, <math>EC=AD=y_1
</math>. Hence <math>BC=y_2-y_1
</math>. इसलिए <math>BC=y_2-y_1
</math>
</math>


Now, applying the Pythagoras theorem in <math>\bigtriangleup ACB </math> ,  we get
अब, पाइथागोरस प्रमेय को <math>\bigtriangleup ACB </math> में लागू करते हुए  हम पाते हैं


<math>AB^2=AC^2+BC^2
<math>AB^2=AC^2+BC^2
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<math>AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
<math>AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
</math> is the distance formula.
</math> दूरी-सूत्र है।


=== Example ===
=== उदाहरण ===
Find the distance between the two points <math>A(1,2)
दोनों बिंदुओं  <math>A(1,2)
</math> and <math>B(3,4)
</math> और <math>B(3,4)
</math>
</math> के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए


'''Solution:'''  
'''हल:'''  


Let <math>A(1,2)=(x_1,y_1)
मान लीजिए  <math>A(1,2)=(x_1,y_1)


</math>
</math>
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</math>
</math>


Distance between  the two points <math>A
दो बिंदुओं <math>A
</math> and <math>B
</math> और <math>B
</math>
</math> के बीच की दूरी


<math>AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
<math>AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Revision as of 09:54, 19 June 2024

निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र का उपयोग समतल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका निर्देशांक या भुज कहते हैं। अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका निर्देशांक या कोटि कहते हैं। अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक के रूप के होते हैं, और अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक के रूप के होते हैं। किसी समतल में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे।

दूरी-सूत्र क्या है?

दूरी सूत्र वह सूत्र है, जिसका उपयोग किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है, केवल तभी जब निर्देशांक हमें ज्ञात हों। ये निर्देशांक अक्ष या अक्ष या दोनों पर स्थित हो सकते हैं। मान लीजिए, एक समतल में दो बिंदु, मान लीजिए और हैं (चित्र 1 देखें) बिंदु के निर्देशांक हैं और के हैं।

Fig 1 - Distance Formula
Fig 1 - Distance Formula

फिर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र द्वारा दिया गया है

दूरी-सूत्र व्युत्पत्ति

आइए चित्र-1 में दर्शाए गए दो बिंदुओं और के बीच की दूरी ज्ञात करें

अक्ष पर लंबवत और खींचिए। पर बिंदु से एक लंबवत बिंदु पर मिलने के लिए खींचा जाता है।

तो, , तो । साथ ही C, . इसलिए

अब, पाइथागोरस प्रमेय को में लागू करते हुए , हम पाते हैं

दूरी-सूत्र है।

उदाहरण

दोनों बिंदुओं और के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

हल:

मान लीजिए

दो बिंदुओं और के बीच की दूरी