विभाजन-सूत्र

विभाजन-सूत्र का उपयोग उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो किसी रेखाखंड को (बाह्य या आंतरिक रूप से) किसी अनुपात में विभाजित करता है।

विभाजन-सूत्र की व्युत्पत्ति

चित्र -1 -विभाजन-सूत्र

किन्हीं दो बिंदुओं $A(x_{1},y_{1})$ और $B(x_{2},y_{2})$ पर विचार करें और मान लीजिये $P(x,y)$, $AB$ को आंतरिक रूप से अनुपात $m_{1}:m_{2}$ में विभाजित करता है।

i.e., ${\frac {PA}{PB}}={\frac {m_{1}}{m_{2}}}$ (चित्र 1 देखें)

Draw $AC,PD,BE$ perpendicular to the $x-$axis. Draw $AR,PQ$ parallel to the $x-$axis. Then, by the $AA$ similarity criterion,

$x-$अक्ष पर लंबवत $AC,PD,BE$ खींचें। $x-$अक्ष के समानांतर $AR,PQ$ खींचें। फिर, $AA$ समानता मानदंड से,

$\bigtriangleup PAR\sim \bigtriangleup BPQ$

${\frac {PA}{PB}}={\frac {AR}{PQ}}={\frac {PR}{BQ}}.......(1)$

$AR=CD=OD-OC=x-x_{1}$

$PQ=DE=OE-OD=x_{2}-x$

$PR=PD-RD=PD-AC=y-y_{1}$

$BQ=BE-QE=BE-PD=y_{2}-y$

$(1)$ प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y}}$

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x}}$ लेने पर

$m_{1}x_{2}-m_{1}x=m_{2}x-m_{2}x_{1}$

$m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}=m_{2}x+m_{1}x$

$m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}=x(m_{2}+m_{1})$

$x={\frac {m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y}}$ लेने पर

$m_{1}y_{2}-m_{1}y=m_{2}y-m_{2}y_{1}$

$m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}=m_{2}y+m_{1}y$

$m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}=y(m_{2}+m_{1})$

$y={\frac {m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

इसलिए, बिंदु $P(x,y)$ के निर्देशांक जो बिंदु $A(x_{1},y_{1})$ और $B(x_{2},y_{2})$ को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से किस अनुपात में विभाजित करते हैं

$m_{1}:m_{2}$ are $\left({\frac {m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}},{\frac {m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)$ विभाजन-सूत्र है।

उदाहरण

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं $(4,-3)$ और $(8,5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

हल : $P(x,y)$ को वांछित बिंदु मान लें।

$x_{1}=4,y_{1}=-3$

$x_{2}=8,y_{2}=5$

$m_{1}=3,m_{2}=1$

विभाजन-सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते

$x={\frac {m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

$x={\frac {3\times 8+1\times 4}{3+1}}=7$

$y={\frac {m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

$y={\frac {3\times 5+1\times -3}{3+1}}=3$

अतः $(7,3)$ ही अभीष्ट बिंदु है।