चक्रीय चतुर्भुज

चित्र -1

एक चतुर्भुज ABCD चक्रीय कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र-1 देखें)।

यहाँ हमें $\angle A+\angle C=180^{\circ }$and $\angle B+\angle D=180^{\circ }$प्राप्त होता है।

चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।

प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योग $180^{\circ }$ होता है।

प्रमेय 2: यदि चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी युग्म का योग $180^{\circ }$ है, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।

उदाहरण

चित्र -2

1: In Fig 2, $ABCD$ is a cyclic quadrilateral in which $AC$ and $BD$ are its diagonals.

If $\angle DBC=55^{\circ }$and $\angle BAC=45^{\circ }$, find $\angle BCD$

Solution:

$\angle CAD=\angle DBC=55^{\circ }$(Angles in the same segment)

Therefore, $\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC$

$\angle DAB=55^{\circ }+45^{\circ }=100^{\circ }$

But $\angle DAB+\angle BCD=180^{\circ }$(Opposite angles of a cyclic quadrilateral)

$\angle BCD=180^{\circ }-\angle DAB$

$\angle BCD=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$