द्विघाती बहुपद

द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात $2$ के समान होता है। द्विघाती बहुपद को द्वितीय-क्रम बहुपद के रूप में भी जाना जाता है।

परिभाषा

द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान $2$ के समान होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में दिया जाता है। यहां, $a$ और $b$ गुणांक हैं, $x$ अज्ञात चर है और $c$ है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि $x$ के दो मान हो सकते हैं।

उदाहरण

$x^{2}+4x+4=0$

इस समीकरण का हल खोजने के लिए हम इसका गुणनखंड इस प्रकार करते हैं

$x^{2}+4x+4=0$

$x^{2}+2x+2x+4$

$x(x+2)+2(x+2)$

$(x+2)(x+2)=0$

इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल $x=-2,x=-2$ होंगे

द्विघात बहुपद सूत्र

एकल चर द्विघात बहुपद का सामान्य सूत्र $ax^{2}+bx+c$ के रूप में दिया गया है। जब इस द्विघात बहुपद का प्रयोग समीकरण में किया जाता है तो इसे $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग द्विघात बहुपद वाले समीकरण का हल खोजने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करना, वर्गों को पूरा करना, ग्राफ़ का उपयोग करना और द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग करना हैं। इन सभी तकनीकों में से, किसी द्विघात बहुपद के मूल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका सूत्र का उपयोग करना है। इस पद्धति का एक अतिरिक्त लाभ यह है कि विवेचक का विश्लेषण करके कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। द्विघात बहुपद सूत्र नीचे दिया गया है:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

इस सूत्र को लागू करने के बाद प्राप्त होने वाले $x$ के दो मानों को द्विघात समीकरण के हल, शून्य या मूल के रूप में जाना जाता है।

मान $b^{2}-4ac$ को विभेदक कहा जाता है। इसे $D$ द्वारा दर्शाया जाता है। विभेदक का उपयोग करके जड़ों की प्रकृति निर्धारित की जा सकती है।

द्विघात बहुपद मूल

गुणनखंडन की विधि मात्र कुछ द्विघात बहुपदों पर ही लागू होती है। हालाँकि, द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग किसी भी प्रकार के द्विघात समीकरण के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, विभेदक के मान का उपयोग द्विघात बहुपद की जड़ों की प्रकृति का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। नीचे विभिन्न स्थितियाँ दी गई हैं जो जड़ों की प्रकृति का अनुमान लगाने में मदद कर सकती हैं:

• $D>0$: यदि विभेदक धनात्मक है, तो यह इंगित करता है कि मूल वास्तविक एवं पृथक हैं।
• $D=0$:यदि विभेदक का मान शून्य के समान है, तो दोनों मूल वास्तविक हैं तथा एक दूसरे के समान हैं।
• $D<0$: यदि विभेदक ऋणात्मक है तो दोनों मूल काल्पनिक संख्याएँ हैं।

द्विघात बहुपद मूलों का योग और गुणनफल

द्विघात बहुपद वाले समीकरण की जड़ों का उपयोग करके, जड़ों और गुणांकों के बीच एक संबंध स्थापित किया जा सकता है। किसी द्विघात बहुपद के मूलों का योग और गुणनफल गुणांकों और अचर पद का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए एक मूल $\alpha$ द्वारा दिया गया है और दूसरा मूल $\beta$ द्वारा दिया गया है।

एक द्विघात समीकरण, $ax^{2}+bx+c=0$, जिसमें एक द्विघात बहुपद है, के लिए मूलों के योग और गुणनफल का सूत्र नीचे दिया गया है:

• मूलों का योग: $\alpha +\beta =-$ $x$ का गुणांक/ $x^{2}=-{\frac {b}{a}}$ का गुणांक
• मूलों का गुणनफल: $\alpha .\beta =$ स्थिरांक/ $x^{2}={\frac {c}{a}}$ का गुणांक

यदि मूलों का योग और गुणनफल निर्दिष्ट किया गया है तो मूल द्विघात बहुपद प्राप्त किया जा सकता है। यह इस प्रकार दिया गया है

$x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha .\beta =0$

इसका उपयोग द्विघात बहुपदों के गुणनखंडन के लिए भी किया जा सकता है। द्विघात बहुपद के गुणनखंडन के लिए अन्य विधियाँ नीचे दिए गए अनुभागों में सूचीबद्ध की जाएँगी।

द्विघात बहुपद कैसे ज्ञात करें?

समीकरण के शून्यों या मूलों का उपयोग करके एक द्विघात बहुपद प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि दो मूल इस प्रकार दिए गए हैं $-4$ और $2$. द्विघात बहुपद ज्ञात करने के चरण इस प्रकार हैं:

• चरण 1: दोनों मूलों का योग ज्ञात करें। मूलों का योग $=-4+2=-2$
• चरण 2: दो मूलों का गुणनफल ज्ञात करें। मूलों का गुणनफल$=-4\times 2=-8$
• चरण 3: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें $x^{2}-$ (मूलों का योग)$x+$(मूलों का गुणनफल)। अत: द्विघात बहुपद $x^{2}+2x-8$ है।

द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन कैसे करें?

सामान्यतः, गुणनखंडन को दो व्यंजकों को गुणा करने के विपरीत माना जा सकता है। द्विघात बहुपदों के गुणनखंडन के लिए कुछ विधियाँ नीचे सूचीबद्ध हैं:

महत्तम समापवर्तक

इस पद्धति में, हमें सभी पदों को देखना होगा और सामान्य पदों का निर्धारण करना होगा।

यदि समीकरण में कोई उभयनिष्ठ पद है, तो हम उसे बहुपद के लिए गुणनखंडित करेंगे।

हम वितरणात्मक नियम का उपयोग विपरीत पद्धति से करते हैं।

$x(a+b)=xa+xb$

हम देखते हैं कि समीकरण में प्रत्येक पद में एक '$x$' है और वितरण नियम का विपरीत उपयोग करते हुए समापवर्तक को इस प्रकार ज्ञात किया जाता है,

$xa+xb=x(a+b)$

उदाहरण

द्विघात बहुपद समीकरण में पदों के महत्तम समापवर्तक क्या हैं $8x^{2}-4x=0?$

हल

आइए वितरणात्मक नियम को विपरीत रूप से लागू करें।

समीकरण में $4x$ एक समापवर्तक है.

अत:, $4x(2x-1)$, $8x^{2}-4x=0$ के समापवर्तक हैं

अंतर विधि का योग

दो पदों का योग और अंतर सबसे अधिक संभावना तब उपयोग किया जाता है जब दो कारक बिल्कुल मेल खाते हैं, सिवाय इसके कि एक पद में जोड़ उपस्थित होता है और दूसरा अंतर होता है।

उदाहरण के लिए: $(a+b)(a-b)$

जब हम इन पदों को विस्तारित और गुणा करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है $a\times a+ab-ab-b\times b$

समान पद मध्य में होंगे और परिणाम शून्य होगा, इस प्रकार पीछे रह जाएगा $a^{2}$और $-b^{2}$

इस प्रकार, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ सूत्र बन जाता है

उदाहरण

Find the solution of $(5+x)(5-x)$ using the sum of the difference method.

हल

Apply the sum of the difference method for solving the terms.

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

$(5+x)(5-x)=(5^{2}-x^{2})=25-x^{2}$

समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन

Factor by grouping means that we have to group all the terms with common factors before factoring.

The following steps are used in the factor by grouping method.

• From the given quadratic polynomial, take out a factor from each group.
• Factorize each group of the expression.
• Now take out the factor common to the group formed.

Let’s take a look at an example.

उदाहरण

How can you factorize the quadratic polynomial $a^{2}-ac+ab-bc$ by the grouping method?

हल :

$a^{2}-ac+ab-bc$

Take the common factor from the quadratic polynomial.

$=a(a-c)+b(a-c)$

$=(a-c)(a+b)$

Thus, by factoring expressions we get $(a-c)(a+b)$

पूर्ण वर्ग त्रिपद विधि

The method of converting any quadratic polynomial into a perfect square is known as the perfect square trinomial method.

The following equations are the perfect square trinomial formulas:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

उदाहरण

Is the given quadratic polynomial $x^{2}-8x+16$ a perfect square?

हल

On using the formula, we get

$x^{2}-8x+16=x^{2}-2(1)(4)x+4^{2}=(x-4)^{2}$

Thus, the given quadratic polynomial is a perfect square.