अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक: Difference between revisions

Revision as of 11:36, 24 October 2024

अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को ज्ञात करने के लिए, हमें एक समकोण निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है। 3D $3D$ में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली चुनने के बाद, उस प्रणाली में किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक एक क्रमबद्ध $3$ -टपल $(x,y,z)$ द्वारा दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, यदि निर्देशांक $(x,y,z)$ पहले से ही ज्ञात हैं, तो हम आसानी से अंतरिक्ष में बिंदु $P$ को ज्ञात कर सकते हैं।

चित्र-1

अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, निर्देशांक तलों और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक $(x,y,z)$ को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु $(x.1.2)$ के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।

अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु $P$ से $XY$ - तल पर PM $PM$ लंब खींचते हैं जिसका पाद $M$ है ( चित्र-1 ) । तब $M$ से x- अक्ष पर ML लंब खींचिए, जो उससे $L$ पर मिलता है। मान लीजिए $OL=x$ , $LM=y$ और $PM=2$ तब $(x,y,z)$ बिंदु $P$ के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें $x,y,z$ को क्रमश: बिंदु $P$ के $x$ - निर्देशांक, $y$ - निर्देशांक, तथा $2$ - निर्देशांक कहते हैं । चित्र-1 में हम देखते हैं कि बिंदु $P(x,y,z)$ अष्टांश $XOYZ$ में स्थित है, अत: $x$ , $y$ , और $z$ सभी धनात्मक हैं।

त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु $P$ है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि हम $XY$ तल पर एक लंबवत $PB$ छोड़ते हैं और फिर बिंदु B से, हम क्रमशः $x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष पर लंबवत BA और BC छोड़ते हैं। लंबवत BC, BA और PB की लंबाई क्रमशः $x$ , $y$ और $z$ मानते हुए। इन लंबाइयों $x$ , $y$ और $z$ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु $P$ के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना चाहिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक देते समय, हम उन्हें हमेशा क्रम में लिखते हैं ताकि $x$ -अक्ष का निर्देशांक पहले आए, उसके बाद $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष का निर्देशांक आए। इस प्रकार अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, इसके प्रतिनिधित्व के लिए वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध 3-टपल मौजूद होता है।

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-अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति का ज्ञात करने के लिए, हमें एक समकोण निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है। 3D <math>3D</math> में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली चुनने के बाद, उस प्रणाली में किसी भी बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक एक क्रमबद्ध <math>3</math>-टपल <math>(x, y, z)</math> द्वारा दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, यदि निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> पहले से ही ज्ञात हैं, तो हम आसानी से अंतरिक्ष में बिंदु <math>P</math> को ज्ञात कर सकते हैं।
+अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को ज्ञात करने के लिए, हमें एक समकोण निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है। 3D <math>3D</math> में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली चुनने के बाद, उस प्रणाली में किसी भी बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक एक क्रमबद्ध <math>3</math>-टपल <math>(x, y, z)</math> द्वारा दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, यदि निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> पहले से ही ज्ञात हैं, तो हम आसानी से अंतरिक्ष में बिंदु <math>P</math> को ज्ञात कर सकते हैं।[[File:अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक.jpg|thumb|चित्र-1 ]]
 == अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक ==
 अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, निर्देशांक तलों और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु <math>(x. 1. 2)</math> के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।
 अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु <math>P</math> से <math>XY</math>- तल पर PM <math>PM</math> लंब खींचते हैं जिसका पाद  <math>M</math> है ( चित्र-1 ) । तब  <math>M</math> से x- अक्ष पर ML लंब खींचिए, जो उससे <math>L</math> पर मिलता है। मान लीजिए <math>OL=x</math>, <math>LM = y</math> और <math>PM = 2</math> तब <math>(x, y, z)</math> बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें <math>x, y, z</math> को क्रमश: बिंदु <math>P</math> के <math>x</math>- निर्देशांक, <math>y</math>- निर्देशांक, तथा  <math>2</math>- निर्देशांक कहते हैं । चित्र-1 में हम देखते हैं कि बिंदु <math>P(x, y, z)</math> अष्टांश <math>XOYZ</math> में स्थित है, अत: <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z </math> सभी धनात्मक हैं।
-[[File:अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक.jpg|thumb|चित्र-1 ]]
 == त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली ==