सम्मिश्र तल: Difference between revisions

Revision as of 19:53, 28 October 2024

गणित में, सम्मिश्र तल एक ऐसा तल है जो सम्मिश्र संख्याओं से निर्मित होता है। इसमें कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली होती है, जिसमें क्षैतिज $x$ -अक्ष को वास्तविक अक्ष कहा जाता है और यह वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है, जबकि ऊर्ध्वाधर $y$ -अक्ष को काल्पनिक अक्ष कहा जाता है और यह काल्पनिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है। सम्मिश्र तल के माध्यम से सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या संभव होती है।

इसके अतिरिक्त सम्मिश्र संख्याएँ सदिश की तरह जोड़ती हैं। दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणन ध्रुवीय निर्देशांक में सरलता से व्यक्त किया जा सकता है: गुणनफल का परिमाण (या मापांक) दोनों संख्याओं के परिमाणों का गुणनफल होता है, और गुणनफल का कोण (या तर्क) दोनों संख्याओं के कोणों का योग होता है। विशेष रूप से, मापांक 1 वाली किसी सम्मिश्र संख्या से गुणा करने पर यह एक घूर्णन की तरह कार्य करती है।

चित्र-सम्मिश्र तल

सम्मिश्र समतल को कभी-कभी आर्गैंड समतल या गॉस समतल कहा जाता है।

सम्मिश्र संख्या एक वास्तविक संख्या और एक काल्पनिक संख्या का संयोजन है:

वास्तविक संख्या वह संख्या है जिसका प्रयोग हम प्रतिदिन करते हैं।

उदाहरण: $12.38$ , $1/2$ , $0$ , $-2000$

जब हम एक वास्तविक संख्या का वर्ग करते हैं तो हमें सकारात्मक (या शून्य) परिणाम मिलता है:

$2^{2}=2\times 2=4$

$1^{2}=1\times 1=1$

$0^{2}=0\times 0=0$

$-1$ प्राप्त करने के लिए हम क्या वर्ग कर सकते हैं?

$?^{2}=-1$

Squaring -1 does not work because multiplying negatives gives a positive : (-1) × (-1) = +1, and no other Real Number works either.

So it seems that mathematics is incomplete ...

... but we can fill the gap by imagining there is a number that, when multiplied by itself, gives -1

(call it i for imaginary):

¡2 = -1

An Imaginary Number, when squared gives a negative result

imaginary2

negative

Examples: 5i, -3.6i, i/2, 500i

And together:

A Complex Number is a combination of a Real Number and an Imaginary Number

Examples: 3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 – 0.3i, 0 + 2i

Putting a Complex Number on a Plane

You may be familiar with the number line :

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

But where do we put a complex number like 3+4i ?

Let's have the real number line go left-right as usual, and have the imaginary number line go up-and-down:

We can then plot a complex number like 3 + 4i :

• 3 units along (the real axis),

⚫ and 4 units up (the imaginary axis).

And here is 4 - 2i :

• 4 units along (the real axis),

•

and 2 units down (the imaginary axis).

@@ Line 1: / Line 1: @@
 गणित में, सम्मिश्र तल एक ऐसा तल है जो सम्मिश्र संख्याओं से निर्मित होता है। इसमें कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली होती है, जिसमें क्षैतिज <math>x</math>-अक्ष को वास्तविक अक्ष कहा जाता है और यह वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है, जबकि ऊर्ध्वाधर <math>y</math>-अक्ष को काल्पनिक अक्ष कहा जाता है और यह काल्पनिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है। सम्मिश्र तल के माध्यम से सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या संभव होती है।
-इसके अतिरिक्त सम्मिश्र संख्याएँ सदिश की तरह जोड़ती हैं। दो सम्मिश्र  संख्याओं का गुणन ध्रुवीय निर्देशांक में सरलता से व्यक्त किया जा सकता है: गुणनफल का परिमाण (या मापांक) दोनों संख्याओं के परिमाणों का गुणनफल होता है, और गुणनफल का कोण (या तर्क) दोनों संख्याओं के कोणों का योग होता है। विशेष रूप से, मापांक 1 वाली किसी सम्मिश्र संख्या से गुणा करने पर यह एक घूर्णन की तरह कार्य करती है।
+इसके अतिरिक्त [[सम्मिश्र संख्याएँ]] सदिश की तरह जोड़ती हैं। दो सम्मिश्र  संख्याओं का गुणन ध्रुवीय निर्देशांक में सरलता से व्यक्त किया जा सकता है: गुणनफल का परिमाण (या मापांक) दोनों संख्याओं के परिमाणों का गुणनफल होता है, और गुणनफल का कोण (या तर्क) दोनों संख्याओं के कोणों का योग होता है। विशेष रूप से, मापांक 1 वाली किसी सम्मिश्र संख्या से गुणा करने पर यह एक घूर्णन की तरह कार्य करती है।
 [[File:सम्मिश्र तल.jpg|thumb|चित्र-सम्मिश्र तल ]]
-जटिल समतल को कभी-कभी आर्गैंड समतल या गॉस समतल कहा जाता है।
+सम्मिश्र समतल को कभी-कभी आर्गैंड समतल या गॉस समतल कहा जाता है।
-Real and Imaginary make Complex
+सम्मिश्र संख्या एक वास्तविक संख्या और एक काल्पनिक संख्या का संयोजन है:
-A Complex Number is a combination of a Real Number and an Imaginary Number:
+[[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्या]] वह संख्या है जिसका प्रयोग हम प्रतिदिन करते हैं।
-A Real Number is the type of number we use every day.
+'''उदाहरण''': <math>12.38</math>, <math>1/2</math>, <math>0</math>,<math>-2000</math>
-Examples: 12.38, 2, 0, -2000
+जब हम एक वास्तविक संख्या का वर्ग करते हैं तो हमें सकारात्मक (या शून्य) परिणाम मिलता है:
-When we square a Real Number we get a positive (or zero) result:
+<math>2^2 = 2 \times 2 = 4</math>
-What can we square to get -1?
+<math>1^2 = 1 \times 1 = 1</math>
-= 2 x 2 = 4
+<math>0^2 = 0\times0 = 0</math>
-= 1 x 1 = 1
+<math>-1</math> प्राप्त करने के लिए हम क्या वर्ग कर सकते हैं?
-= 0x0 = 0
+<math>?^2 = -1</math>
-?2 = -1
 Squaring -1 does not work because multiplying negatives gives a positive : (-1) × (-1) = +1, and no other Real Number works either.