चक्रीय चतुर्भुज: Difference between revisions

Revision as of 12:08, 3 November 2024

चक्रीय चतुर्भुज

चक्रीय चतुर्भुज एक वृत्त में अंकित चार भुजाओं वाला बहुभुज होता है। इसमें दी गई भुजाओं की लंबाई के साथ अधिकतम संभव क्षेत्रफल होता है। दूसरे शब्दों में, एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज उन भुजाओं की लंबाई के साथ अधिकतम संभव क्षेत्र को दर्शाता है।

चक्रीय चतुर्भुज की परिभाषा

चक्रीय चतुर्भुज का अर्थ है एक चतुर्भुज जो एक वृत्त में अंकित होता है। इसका मतलब है कि एक वृत्त है जो चतुर्भुज के सभी चार शीर्षों से होकर गुजरता है। शीर्षों को चक्रीय कहा जाता है। वृत्त के केंद्र को परिकेंद्र के रूप में जाना जाता है और वृत्त की त्रिज्या को परित्रिज्या के रूप में जाना जाता है।

शब्द "चक्रीय" ग्रीक शब्द "कुक्लोस" से लिया गया है, जिसका अर्थ है "वृत्त" या "पहिया"। शब्द "चतुर्भुज" प्राचीन लैटिन शब्द "क्वाड्री" से लिया गया है, जिसका अर्थ है "चार भुजाएँ" या "लैटस"।

नीचे दिए गए चित्र में, $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसकी भुजाओं की लंबाई $a,b,c,d$ तथा विकर्ण $p,q$ हैं।

चित्र . 1

चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म

चक्रीय चतुर्भुज के गुण हमें इस आकृति को आसानी से पहचानने और इस पर आधारित प्रश्नों को हल करने में सहायता करते हैं। चक्रीय चतुर्भुज के कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:

चक्रीय चतुर्भुज में, चतुर्भुज के सभी चार शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।
उत्कीर्ण चतुर्भुज की चारों भुजाएँ वृत्त की चार जीवाएँ हैं।
किसी शीर्ष पर बाह्य कोण का माप विपरीत आंतरिक कोण के बराबर होता है।
चक्रीय चतुर्भुज में, $p\times q$ = सम्मुख भुजाओं के गुणनफल का योग, जहाँ $p,q$ विकर्ण हैं।
लम्ब समद्विभाजक सदैव समवर्ती होते हैं।
चक्रीय चतुर्भुज की चारों भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक केंद्र $O$ पर मिलते हैं।
विपरीत कोणों की एक जोड़ी का योग 180∘(पूरक) होता है। मान लीजिए $\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$ एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के चार कोण हैं। तब, $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ तथा $\angle B+\angle D=180^{\circ }$ ।

चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।

प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी भी युग्म का योग $180^{\circ }$ होता है।

प्रमेय 2: यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के युग्म का योग $180^{\circ }$ है, तो चतुर्भुज चक्रीय है।

चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल

The area of a cyclic quadrilateral is ${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ where $a,b,c,d$ are the four sides of the quadrilateral and $s$ is the semi perimeter which can be calculated as

$s={\frac {1}{2}}\times (a+b+c+d)$ . Heron's formula for a triangle is also derived from this equation.

चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ${\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ है जहाँ $a,b,c,d$ चतुर्भुज की चारों भुजाएँ हैं और $s$ अर्ध परिमाप है जिसे $s={\frac {1}{2}}\times (a+b+c+d)$ के रूप में परिकलित किया जा सकता है।

त्रिभुज के लिए हीरोन का सूत्र भी इसी समीकरण से प्राप्त होता है।

उदाहरण

चित्र -2

1: चित्र 2 में, $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AC$ और $BD$ इसके विकर्ण हैं।

यदि $\angle DBC=55^{\circ }$ और $\angle BAC=45^{\circ }$ हैं , $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए

हल:

$\angle CAD=\angle DBC=55^{\circ }$ (एक ही खंड में कोण)

अत:, $\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC$

$\angle DAB=55^{\circ }+45^{\circ }=100^{\circ }$

परंतु $\angle DAB+\angle BCD=180^{\circ }$ (चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण)

$\angle BCD=180^{\circ }-\angle DAB$

$\angle BCD=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$

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 == चक्रीय चतुर्भुज ==
-चक्रीय चतुर्भुज एक वृत्त में अंकित चार भुजाओं वाला बहुभुज होता है। इसमें दी गई भुजाओं की लंबाई के साथ अधिकतम संभव क्षेत्रफल होता है। दूसरे शब्दों में, एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज उन भुजाओं की लंबाई के साथ अधिकतम संभव क्षेत्र को दर्शाता है।
+चक्रीय [[चतुर्भुज]] एक वृत्त में अंकित चार भुजाओं वाला बहुभुज होता है। इसमें दी गई भुजाओं की लंबाई के साथ अधिकतम संभव क्षेत्रफल होता है। दूसरे शब्दों में, एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज उन भुजाओं की लंबाई के साथ अधिकतम संभव क्षेत्र को दर्शाता है।
 ==चक्रीय चतुर्भुज की परिभाषा ==
 चक्रीय चतुर्भुज का अर्थ है एक चतुर्भुज जो एक वृत्त में अंकित होता है। इसका मतलब है कि एक वृत्त है जो चतुर्भुज के सभी चार शीर्षों से होकर गुजरता है। शीर्षों को चक्रीय कहा जाता है। वृत्त के केंद्र को परिकेंद्र के रूप में जाना जाता है और वृत्त की त्रिज्या को परित्रिज्या के रूप में जाना जाता है।
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 नीचे दिए गए चित्र में, <math>ABCD</math> एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसकी भुजाओं की लंबाई <math>a,b,c,d</math> तथा विकर्ण <math>p,q</math> हैं।[[File:Cyclic quadrilateral -1.jpg|alt=Fig. 1|none|thumb|200x200px|चित्र . 1]]
 ==चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म==
-The properties of a cyclic quadrilateral help us to identify this figure easily and to solve questions based on it. Some of the properties of a cyclic quadrilateral are given below:
+चक्रीय चतुर्भुज के गुण हमें इस आकृति को आसानी से पहचानने और इस पर आधारित प्रश्नों को हल करने में सहायता करते हैं। चक्रीय चतुर्भुज के कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:
-*In a cyclic quadrilateral, all the four vertices of the quadrilateral lie on the circumference of the circle.
-* The four sides of the inscribed quadrilateral are the four chords of the circle.
-*The measure of an exterior angle at a vertex is equal to the opposite interior angle.
-*In a cyclic quadrilateral, <math>p \times q</math> = sum of product of opposite sides, where <math>p,q</math> are the diagonals.
-* The perpendicular bisectors are always concurrent.
-*The perpendicular bisectors of the four sides of the cyclic quadrilateral meet at the center O.
-*The sum of a pair of opposite angles is <math>180^\circ</math>(supplementary). Let <math>\angle A,\angle B,\angle C,\angle D</math> be the four angles of an inscribed quadrilateral. Then, <math>\angle A+\angle C =180^\circ</math> and<math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>.
-Theorems related to Cyclic Quadrilateral are mentioned below.
-Theorem 1:  The sum of either pair of opposite angles of a cyclic quadrilateral is <math>180^\circ</math>.
+* चक्रीय चतुर्भुज में, चतुर्भुज के सभी चार शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।
+* उत्कीर्ण चतुर्भुज की चारों भुजाएँ वृत्त की चार जीवाएँ हैं।
+* किसी शीर्ष पर बाह्य कोण का माप विपरीत आंतरिक कोण के बराबर होता है।
+* चक्रीय चतुर्भुज में, <math>p \times q</math>= सम्मुख भुजाओं के गुणनफल का योग, जहाँ <math>p,q</math> विकर्ण हैं।
+* लम्ब समद्विभाजक सदैव समवर्ती होते हैं।
+* चक्रीय चतुर्भुज की चारों भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक केंद्र <math>O</math> पर मिलते हैं।
+* विपरीत कोणों की एक जोड़ी का योग 180∘(पूरक) होता है। मान लीजिए <math>\angle A,\angle B,\angle C,\angle D</math> एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के चार कोण हैं। तब,<math>\angle A+\angle C =180^\circ</math> तथा <math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>।
+चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।
+प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी भी युग्म का योग <math>180^\circ</math> होता है।
+प्रमेय 2: यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के युग्म का योग <math>180^\circ</math> है, तो चतुर्भुज चक्रीय है।
-Theorem 2: If the sum of a pair of opposite angles of a quadrilateral is <math>180^\circ</math>, the quadrilateral is cyclic.
 ==चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल==
 The area of a cyclic quadrilateral is <math>\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math> where <math>a,b,c,d</math> are the four sides of the quadrilateral and <math>s</math> is the semi perimeter which can be calculated as
 <math>s=\frac{1}{2} \times (a+b+c+d)</math>. [[Area of Triangle - by Heron's formula|Heron's formula for a triangle]] is also derived from this equation.
+चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल <math>\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math> है जहाँ <math>a,b,c,d</math> चतुर्भुज की चारों भुजाएँ हैं और <math>s</math> अर्ध परिमाप है जिसे <math>s=\frac{1}{2} \times (a+b+c+d)</math> के रूप में परिकलित किया जा सकता है।
+त्रिभुज के लिए [[हीरोन का सूत्र]] भी इसी समीकरण से प्राप्त होता है।
 == उदाहरण ==
 [[File:Cyclic quadrilateral - 2.jpg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र -2]]
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 <math>\angle BCD = 180^\circ -100^\circ =80^\circ</math>
-A cyclic quadrilateral is a four-sided polygon inscribed in a circle. It has the maximum area possible with the given side lengths. In other words, a quadrilateral inscribed in a circle depicts the maximum area possible with those side lengths.
-[[File:Cyclic quadrilateral.jpg|alt=Fig. 1|thumb|चित्र -1]]
-एक [[समांतर चतुर्भुज के गुण|चतुर्भुज]] ABCD चक्रीय कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र-1 देखें)।
-यहाँ हमें  <math>\angle A+\angle C =180^\circ</math>and <math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>प्राप्त होता है।
-चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।
-प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योग <math>180^\circ</math> होता है।
-प्रमेय 2: यदि चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी युग्म का योग <math>180^\circ</math> है, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
 [[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]