चरघातांकी तथा लघूगणकीय फलन: Difference between revisions

Revision as of 17:26, 1 December 2024

चरघातांकी और लघुगणकीय फलन शायद सबसे महत्वपूर्ण फलन हैं जिनका सामना आपको किसी भौतिक समस्या से निपटने के दौरान करना होगा। वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं और संख्याओं की एक बड़ी श्रृंखला को बहुत आसानी से दर्शाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

वे अपने पूरे डोमेन में सांतत्य और अवकलनीय हैं, और उनके अवकलजों के संकेतन में सरलता, आपको गणित के साथ-साथ अन्य विषयों में उनके विशाल महत्व के बारे में एक विचार देगी। आइए अब हम इन कार्यों को व्यक्तिगत रूप से समझते हैं, उनके बीच संबंध पर आगे बढ़ने से पहले।

चरघातांकी फलन

'घातांक' शब्द का तात्पर्य किसी संख्या की 'घात' से है। उदाहरण के लिए - संख्या 23 में 2 का घातांक 3 के बराबर है। स्पष्ट रूप से, चरघातांकी फलन वे होते हैं जहाँ चर घात के रूप में होता है। चरघातांकी फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है-

$f(x)=a^{x}$

जहाँ $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो $1$ के बराबर नहीं है।

यदि $a=1,$ तो $f(x)=1^{x},$ जो $1$ , $\forall x$ के बराबर है। इसलिए फलन का ग्राफ़ स्थिरांक $y(=1)$ की एक सीधी रेखा होगी। ‘ $a$ ’ के मान के आधार पर, हमारे पास दो संभावित मामले हो सकते हैं:

केस 1: $a>1$

यहाँ, चरघातांकी फलन $x$ के बढ़ने के साथ बहुत तेज़ी से बढ़ता है और $x$ के $+\infty$ की ओर बढ़ने पर $+\infty$ की ओर बढ़ता है। जब $x=0,a^{x}=1;$ और जब $x$ , $-\infty$ की ओर बढ़ता है, तो फलन $0$ की ओर बढ़ता है। फलन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है: (जहाँ $a=2$ )

graph-1

केस 2: $a<1$

फलन $x$ के बढ़ने के साथ बहुत तेज़ी से घटता है और $x$ के $+\infty$ की ओर बढ़ने पर $0$ की ओर बढ़ता है। जब $x=0,a^{x}=1;$ हमेशा की तरह; और जब $x$ , $-\infty$ की ओर बढ़ता है, तो फलन $+\infty$ की ओर बढ़ता है। ऐसे फलन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है - (जहाँ $a=2$ फिर से)

graph-2

चरघातांकी फलनों के गुण

चरघातांकी फलन का डोमेन $(-\infty ,+\infty )$ है, अर्थात इसे $\forall x$ से परिभाषित किया जाता है।

चरघातांकी फलन की सीमा $(0,+\infty )$ है। यह गुण $a^{x}$ फलन के ग्राफ से स्पष्ट होना चाहिए। अन्यथा, यह भी तर्कसंगत है कि किसी भी वास्तविक संख्या की घात ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती। केवल काल्पनिक संख्याओं में ही ऐसा व्यवहार हो सकता है।

बिंदु $(0,1)$ और $(1,a)$ हमेशा $a^{x}$ फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं।

‘ $a$ ’ अनिवार्य रूप से एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए। यदि $a$ एक ऋणात्मक संख्या है, तो $x$ के किसी भी भिन्नात्मक मान के लिए, हमें परिणाम के रूप में एक काल्पनिक संख्या मिलेगी जिसे उसी ग्राफ पर प्लॉट नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए- $(-2)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {2}}i$

The Product Rule –
The Quotient Rule –
The exponential function is continuous and differentiable throughout its domain. The derivative is given as

जहाँ ln(a) या loge(a)a का प्राकृतिक लघुगणक है। हम इसे कुछ समय में औपचारिक रूप से परिभाषित करेंगे। मानक चरघातांकी फलन ex गणित में एक अद्वितीय फलन है जिसमें इसके व्युत्पन्न के बराबर होने का गुण होता है। इस प्रकार, हमारे पास है

ddx(ex)=ex

वास्तव में, इन अवकलजों के पीछे की गणना संख्या ‘e’ को परिभाषित करने के तरीकों में से एक है जो 2.71828 के बराबर है… अभी के लिए चरघातांकी कार्यों के बारे में इतना ही।

लघुगणकीय कार्य

चूँकि हमने पहले ही खुलासा कर दिया था कि लघुगणक कार्य और चरघातांकी कार्य एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए कि लघुगणक कार्य ‘किसी संख्या की शक्ति लेने’ के विपरीत कार्य करता है। आइए इसे गणितीय रूप से देखें –

सामान्य संकेतन

Exponential Form –
Logarithmic Form – where ‘b’ is the base of the log.

इन दो रूपों के साथ, आप आसानी से देख सकते हैं कि फलन f(x) = logbx का मान वह घात है जिस तक ‘b’ को बढ़ाकर ‘x’ प्राप्त करना होगा। इसलिए, ‘x’ ऋणात्मक नहीं हो सकता क्योंकि इसके लिए ‘b’ को काल्पनिक होना आवश्यक है, आधार ‘b’ पर स्थितियाँ –

b > 0: यह लॉगरिदमिक फलन के चरघातांकी निरूपण से सीधे अनुसरण करता है।

b ≠ 1: चूँकि 1 को किसी भी घात तक बढ़ाने पर केवल 1 ही प्राप्त होगा।

‘b’ के मान के आधार पर, हमारे पास दो संभावित मामले होंगे –

केस 1: b > 1

यहाँ, लॉगरिदमिक फलन x के घटने के साथ बहुत तेज़ी से घटता है और x के 0 की ओर बढ़ने पर -∞ की ओर बढ़ता है। जब x +∞ की ओर बढ़ता है, तो फलन भी लगातार घटती हुई वृद्धि दर के साथ +∞ की ओर बढ़ता है। फलन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है – (जहाँ b = 2)

graph-3

केस 2: 0 < b < 1

यहाँ x के 0 की ओर बढ़ने पर फलन बहुत तेज़ी से +∞ तक बढ़ता है, और x के +∞ की ओर बढ़ने पर लगातार घटती दर से -∞ तक गिरता है। सामान्य ग्राफ़ इस प्रकार दिखाया गया है - (जहाँ b = 0.5

graph-4

लघुगणकीय कार्यों के गुण

लघुगणकीय कार्यों का डोमेन (0, +∞) है।

लघुगणकीय फलन की सीमा (-∞,+∞) है।

बिंदु (1,0) और (b,1) हमेशा फलन logbx के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं।

The Product Rule:
The Quotient Rule:
The Power Rule: Generalization:
- Change of Base Formula – To change the logarithm from a given base ‘b’ to base ‘a’
  - The logarithm function is continuous and differentiable throughout its domain. The derivative is given as where ln(b) or logeb is the natural logarithm of b. This is a standard logarithm function. It has the base = e = 2.71828. Its derivative – since ln(e) = 1.

चरघातांकी और लघुगणकीय कार्यों के बीच संबंध

हम आपको पहले ही बता चुके हैं कि लघुगणक और चरघातांकी फलन एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। अब आप गुणों से भी इसकी पुष्टि कर सकते हैं।

दोनों फलनों की सीमा और डोमेन का आदान-प्रदान किया जाता है।

बिंदु (0,1) और (1, a) हमेशा चरघातांकी फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं जबकि (1,0) और (b,1) हमेशा लघुगणकीय फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं।

चरघातांकी और लघुगणक फलनों के गुणनफल और भागफल नियम एक दूसरे से अनुसरण करते हैं।

आइए अब हम अपने कथन को मानक फलनों के लिए गणितीय रूप में प्रस्तुत करें –

General formula –

@@ Line 1: / Line 1: @@
-घातांकीय और लघुगणकीय फ़ंक्शन शायद सबसे महत्वपूर्ण फ़ंक्शन हैं जिनका सामना आपको किसी भौतिक समस्या से निपटने के दौरान करना होगा। वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं और संख्याओं की एक बड़ी श्रृंखला को बहुत आसानी से दर्शाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
+चरघातांकी और लघुगणकीय फलन शायद सबसे महत्वपूर्ण फलन हैं जिनका सामना आपको किसी भौतिक समस्या से निपटने के दौरान करना होगा। वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं और संख्याओं की एक बड़ी श्रृंखला को बहुत आसानी से दर्शाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
-वे अपने पूरे डोमेन में निरंतर और अवकलनीय हैं, और उनके व्युत्पन्नों के संकेतन में सरलता, आपको गणित के साथ-साथ अन्य विषयों में उनके विशाल महत्व के बारे में एक विचार देगी। आइए अब हम इन कार्यों को व्यक्तिगत रूप से समझते हैं, उनके बीच संबंध पर आगे बढ़ने से पहले।
+वे अपने पूरे डोमेन में सांतत्य और अवकलनीय हैं, और उनके अवकलजों के संकेतन में सरलता, आपको गणित के साथ-साथ अन्य विषयों में उनके विशाल महत्व के बारे में एक विचार देगी। आइए अब हम इन कार्यों को व्यक्तिगत रूप से समझते हैं, उनके बीच संबंध पर आगे बढ़ने से पहले।
-== घातांकीय फलन ==
+== चरघातांकी फलन ==
-'घातांक' शब्द का तात्पर्य किसी संख्या की 'घात' से है। उदाहरण के लिए - संख्या 23 में 2 का घातांक 3 के बराबर है। स्पष्ट रूप से, घातांकीय फलन वे होते हैं जहाँ चर घात के रूप में होता है। घातांकीय फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है-
+'घातांक' शब्द का तात्पर्य किसी संख्या की 'घात' से है। उदाहरण के लिए - संख्या 23 में 2 का घातांक 3 के बराबर है। स्पष्ट रूप से, चरघातांकी  फलन वे होते हैं जहाँ चर घात के रूप में होता है। चरघातांकी  फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है-
-f(x)=ax
+<math>f(x)=a^x</math>
-जहाँ a एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो 1 के बराबर नहीं है।
+जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो <math>1</math> के बराबर नहीं है।
-यदि a = 1, तो f(x) = 1x, जो 1, ∀ x के बराबर है। इसलिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थिरांक y (= 1) की एक सीधी रेखा होगी। ‘a’ के मान के आधार पर, हमारे पास दो संभावित मामले हो सकते हैं:
+यदि <math>a = 1,</math> तो <math>f(x) = 1^x,</math> जो <math>1</math>, <math>\forall x</math> के बराबर है। इसलिए फलन का ग्राफ़ स्थिरांक <math>y (= 1)</math> की एक सीधी रेखा होगी। ‘<math>a</math>’ के मान के आधार पर, हमारे पास दो संभावित मामले हो सकते हैं:
-केस 1: a > 1
+केस 1: <math>a > 1</math>
-यहाँ, घातांकीय फ़ंक्शन x के बढ़ने के साथ बहुत तेज़ी से बढ़ता है और x के +∞ की ओर बढ़ने पर +∞ की ओर बढ़ता है। जब x = 0, ax = 1; और जब x -∞ की ओर बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 0 की ओर बढ़ता है। फ़ंक्शन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है: (जहाँ a = 2)
+यहाँ, चरघातांकी  फलन <math>x</math> के बढ़ने के साथ बहुत तेज़ी से बढ़ता है और <math>x</math>  के <math>+\infty</math> की ओर बढ़ने पर <math>+\infty</math> की ओर बढ़ता है। जब <math>x = 0, a^x = 1;</math>और जब <math>x</math>, <math>-\infty</math> की ओर बढ़ता है, तो फलन <math>0</math> की ओर बढ़ता है। फलन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है: (जहाँ <math>a = 2</math>)
 graph-1
-केस 2: a < 1
+केस 2: <math>a < 1</math>
-फ़ंक्शन x के बढ़ने के साथ बहुत तेज़ी से घटता है और x के +∞ की ओर बढ़ने पर 0 की ओर बढ़ता है। जब x = 0, ax = 1 हमेशा की तरह; और जब x -∞ की ओर बढ़ता है, तो फ़ंक्शन +∞ की ओर बढ़ता है। ऐसे फ़ंक्शन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है - (जहाँ a = 2 फिर से)
+फलन <math>x</math> के बढ़ने के साथ बहुत तेज़ी से घटता है और <math>x</math> के <math>+\infty</math> की ओर बढ़ने पर <math>0</math> की ओर बढ़ता है। जब <math>x = 0, a^x = 1;</math> हमेशा की तरह; और जब  <math>x</math>, <math>-\infty</math> की ओर बढ़ता है, तो फलन <math>+\infty</math> की ओर बढ़ता है। ऐसे फलन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है - (जहाँ <math>a = 2</math> फिर से)
 graph-2
-== घातांकीय फलनों के गुण ==
+== चरघातांकी  फलनों के गुण ==
-घातांकीय फलन का डोमेन (-∞,+∞) है, अर्थात इसे ∀ x से परिभाषित किया जाता है।
+चरघातांकी  फलन का डोमेन <math>(-\infty,+\infty)</math> है, अर्थात इसे <math>\forall x</math> से परिभाषित किया जाता है।
-घातांकीय फलन की सीमा (0,+∞) है। यह गुण ax फलन के ग्राफ से स्पष्ट होना चाहिए। अन्यथा, यह भी तर्कसंगत है कि किसी भी वास्तविक संख्या की घात ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती। केवल काल्पनिक संख्याओं में ही ऐसा व्यवहार हो सकता है।
+चरघातांकी  फलन की सीमा <math>(0,+\infty)</math> है। यह गुण <math>a^x</math> फलन के ग्राफ से स्पष्ट होना चाहिए। अन्यथा, यह भी तर्कसंगत है कि किसी भी वास्तविक संख्या की घात ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती। केवल काल्पनिक संख्याओं में ही ऐसा व्यवहार हो सकता है।
-बिंदु (0,1) और (1, a) हमेशा ax फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं।
+बिंदु <math>(0,1)</math>और<math>(1, a)</math> हमेशा <math>a^x</math> फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं।
-‘a’ अनिवार्य रूप से एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए। यदि a एक ऋणात्मक संख्या है, तो x के किसी भी भिन्नात्मक मान के लिए, हमें परिणाम के रूप में एक काल्पनिक संख्या मिलेगी जिसे उसी ग्राफ पर प्लॉट नहीं किया जा सकता है।  For eg- (-2)1/2 = √2i.
+‘<math>a</math>’ अनिवार्य रूप से एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए। यदि <math>a</math> एक ऋणात्मक संख्या है, तो <math>x</math> के किसी भी भिन्नात्मक मान के लिए, हमें परिणाम के रूप में एक काल्पनिक संख्या मिलेगी जिसे उसी ग्राफ पर प्लॉट नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए- <math>(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}i</math>
 * The Product Rule –
@@ Line 37: / Line 37: @@
 * The exponential function is continuous and differentiable throughout its domain. The derivative is given as
-जहाँ ln(a) या loge(a)a का प्राकृतिक लघुगणक है। हम इसे कुछ समय में औपचारिक रूप से परिभाषित करेंगे। मानक घातांकीय फ़ंक्शन ex गणित में एक अद्वितीय फ़ंक्शन है जिसमें इसके व्युत्पन्न के बराबर होने का गुण होता है। इस प्रकार, हमारे पास है
+जहाँ ln(a) या loge(a)a का प्राकृतिक लघुगणक है। हम इसे कुछ समय में औपचारिक रूप से परिभाषित करेंगे। मानक चरघातांकी  फलन ex गणित में एक अद्वितीय फलन है जिसमें इसके व्युत्पन्न के बराबर होने का गुण होता है। इस प्रकार, हमारे पास है
 ddx(ex)=ex
-वास्तव में, इन व्युत्पन्नों के पीछे की गणना संख्या ‘e’ को परिभाषित करने के तरीकों में से एक है जो 2.71828 के बराबर है… अभी के लिए घातांकीय कार्यों के बारे में इतना ही।
+वास्तव में, इन अवकलजों के पीछे की गणना संख्या ‘e’ को परिभाषित करने के तरीकों में से एक है जो 2.71828 के बराबर है… अभी के लिए चरघातांकी  कार्यों के बारे में इतना ही।
 लघुगणकीय कार्य
-चूँकि हमने पहले ही खुलासा कर दिया था कि लघुगणक कार्य और घातांकीय कार्य एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए कि लघुगणक कार्य ‘किसी संख्या की शक्ति लेने’ के विपरीत कार्य करता है। आइए इसे गणितीय रूप से देखें –
+चूँकि हमने पहले ही खुलासा कर दिया था कि लघुगणक कार्य और चरघातांकी  कार्य एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए कि लघुगणक कार्य ‘किसी संख्या की शक्ति लेने’ के विपरीत कार्य करता है। आइए इसे गणितीय रूप से देखें –
 सामान्य संकेतन
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 * Logarithmic Form – where ‘b’ is the base of the log.
-इन दो रूपों के साथ, आप आसानी से देख सकते हैं कि फ़ंक्शन f(x) = logbx का मान वह घात है जिस तक ‘b’ को बढ़ाकर ‘x’ प्राप्त करना होगा। इसलिए, ‘x’ ऋणात्मक नहीं हो सकता क्योंकि इसके लिए ‘b’ को काल्पनिक होना आवश्यक है, आधार ‘b’ पर स्थितियाँ –
+इन दो रूपों के साथ, आप आसानी से देख सकते हैं कि फलन f(x) = logbx का मान वह घात है जिस तक ‘b’ को बढ़ाकर ‘x’ प्राप्त करना होगा। इसलिए, ‘x’ ऋणात्मक नहीं हो सकता क्योंकि इसके लिए ‘b’ को काल्पनिक होना आवश्यक है, आधार ‘b’ पर स्थितियाँ –
-b > 0: यह लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के घातांकीय निरूपण से सीधे अनुसरण करता है।
+b > 0: यह लॉगरिदमिक फलन के चरघातांकी  निरूपण से सीधे अनुसरण करता है।
 b ≠ 1: चूँकि 1 को किसी भी घात तक बढ़ाने पर केवल 1 ही प्राप्त होगा।
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 केस 1: b > 1
-यहाँ, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन x के घटने के साथ बहुत तेज़ी से घटता है और x के 0 की ओर बढ़ने पर -∞ की ओर बढ़ता है। जब x +∞ की ओर बढ़ता है, तो फ़ंक्शन भी लगातार घटती हुई वृद्धि दर के साथ +∞ की ओर बढ़ता है। फ़ंक्शन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है – (जहाँ b = 2)
+यहाँ, लॉगरिदमिक फलन x के घटने के साथ बहुत तेज़ी से घटता है और x के 0 की ओर बढ़ने पर -∞ की ओर बढ़ता है। जब x +∞ की ओर बढ़ता है, तो फलन भी लगातार घटती हुई वृद्धि दर के साथ +∞ की ओर बढ़ता है। फलन का सामान्य ग्राफ़ इस तरह दिखता है – (जहाँ b = 2)
 graph-3
@@ Line 68: / Line 68: @@
 केस 2: 0 < b < 1
-यहाँ x के 0 की ओर बढ़ने पर फ़ंक्शन बहुत तेज़ी से +∞ तक बढ़ता है, और x के +∞ की ओर बढ़ने पर लगातार घटती दर से -∞ तक गिरता है। सामान्य ग्राफ़ इस प्रकार दिखाया गया है - (जहाँ b = 0.5
+यहाँ x के 0 की ओर बढ़ने पर फलन बहुत तेज़ी से +∞ तक बढ़ता है, और x के +∞ की ओर बढ़ने पर लगातार घटती दर से -∞ तक गिरता है। सामान्य ग्राफ़ इस प्रकार दिखाया गया है - (जहाँ b = 0.5
 graph-4
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 लघुगणकीय कार्यों का डोमेन (0, +∞) है।
-लघुगणकीय फ़ंक्शन की सीमा (-∞,+∞) है।
+लघुगणकीय फलन की सीमा (-∞,+∞) है।
-बिंदु (1,0) और (b,1) हमेशा फ़ंक्शन logbx के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं।
+बिंदु (1,0) और (b,1) हमेशा फलन logbx के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं।
 * The Product Rule:
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 *** The logarithm function is continuous and differentiable throughout its domain. The derivative is given as where ln(b) or logeb is the natural logarithm of b. This is a standard logarithm function. It has the base = e = 2.71828. Its derivative – since ln(e) = 1.
-== घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों के बीच संबंध ==
+== चरघातांकी  और लघुगणकीय कार्यों के बीच संबंध ==
-हम आपको पहले ही बता चुके हैं कि लघुगणक और घातांकीय फलन एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। अब आप गुणों से भी इसकी पुष्टि कर सकते हैं।
+हम आपको पहले ही बता चुके हैं कि लघुगणक और चरघातांकी  फलन एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। अब आप गुणों से भी इसकी पुष्टि कर सकते हैं।
 दोनों फलनों की सीमा और डोमेन का आदान-प्रदान किया जाता है।
-बिंदु (0,1) और (1, a) हमेशा घातांकीय फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं जबकि (1,0) और (b,1) हमेशा लघुगणकीय फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं।
+बिंदु (0,1) और (1, a) हमेशा चरघातांकी  फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं जबकि (1,0) और (b,1) हमेशा लघुगणकीय फलन के ग्राफ पर स्थित होते हैं।
-घातांकीय और लघुगणक फलनों के गुणनफल और भागफल नियम एक दूसरे से अनुसरण करते हैं।
+चरघातांकी  और लघुगणक फलनों के गुणनफल और भागफल नियम एक दूसरे से अनुसरण करते हैं।
 आइए अब हम अपने कथन को मानक फलनों के लिए गणितीय रूप में प्रस्तुत करें –