निश्चित समकलनों के कुछ गुणधर्म

इस लेख में हम निश्चित समकलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुणों और प्रमाणों की व्युत्पत्ति के बारे में जानेंगे ताकि इस अवधारणा को गहराई से समझने का प्रयास कर सकें । समाकलन, एक समाकल का अनुमान है। यह अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है। समाकलन गणित की अवधारणाओं का उपयोग विस्थापन, आयतन, क्षेत्रफल और कई अन्य राशियों के मानों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। समाकलन दो प्रकार के होते हैं, निश्चित समाकलन और अनिश्चित समाकलन। इस लेख में, हम निश्चित समाकलन और उनके गुणों के बारे में जानेंगे, जो उनके आधार पर समाकलन समस्याओं को हल करने में सहायता करेंगे।

निश्चित समाकलन परिभाषा

एक समाकलन को निश्चित समाकलन तभी कहा जाता है जब इसकी ऊपरी और निचली सीमाएँ हों। गणित में, कई निश्चित समाकलन सूत्र और गुणधर्म हैं जिनका प्रायः उपयोग किया जाता है। एक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, आपको स्वतंत्र चर की निर्दिष्ट ऊपरी और निचली सीमा पर समाकलन के मानों के बीच अंतर ज्ञात करना होगा और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

${\int _{a}^{b}}dx$

नीचे निश्चित समाकल के सभी मूल गुणों की सूची दी गई है। यह आपको उदाहरणों के साथ निश्चित समाकल के कुछ गुणों को आसानी से संशोधित करने में सहायता करता है।

यहाँ सम और विषम के लिए निश्चित समाकल के गुणधर्म दिए गए हैं। इन गुणों के साथ, आप निश्चित समाकल गुणधर्म समस्याओं को हल कर सकते हैं।

निश्चित समाकल के गुणधर्म

गुणधर्म	विवरण
गुणधर्म 1	$\int _{j}^{k}f(x)dx=\int _{j}^{k}f(t)dt$
गुणधर्म 2	$\int _{j}^{k}f(x)g(x)=-\int _{j}^{k}f(x)g(x),$ और $\int _{k}^{j}f(x)g(x)=0$
गुणधर्म 3	$\int _{j}^{k}f(x)dx=\int _{j}^{l}f(x)dx+\int _{l}^{k}f(x)dx$
गुणधर्म 4	$\int _{j}^{k}f(x)g(x)=\int _{j}^{k}f(j+k-x)g(x)$
गुणधर्म 5	$\int _{o}^{k}f(x)g(x)=\int _{j}^{k}f(k-x)g(x)$
गुणधर्म 6	$\int _{0}^{2k}f(x)dx=\int _{0}^{k}f(x)dx+\int _{0}^{k}f(2k-x)dx...$यदि $f(2k-x)=f(x)$
गुणधर्म 7	$\int _{0}^{2}dx=2\int _{0}^{x}f(x)dx...$ यदि $f(2k-x)=f(x)$ $\int _{0}^{2}f(x)dx=0...$ यदि $f(2k-x)=f(x)$
गुणधर्म 8	$\int _{-k}^{k}f(x)dx=2\int _{0}^{x}f(x)dx...$यदि $(-x)=f(x)$ या यह एक सम फलन है $\int _{-k}^{k}f(x)dx==0...$यदि $f(2k-x)=f(x)$ या यह एक विषम फलन है

गुणधर्म 1:

$\int _{j}^{k}f(x)dx=\int _{j}^{k}f(t)dt$

एक सरल गुणधर्म जिसमें आपको केवल अक्षर $x$ को $t$ से बदलना होगा।

गुणधर्म 2 :

$\int _{j}^{k}f(x)g(x)=-\int _{j}^{k}f(x)g(x),$ और $\int _{k}^{j}f(x)g(x)=0$

विचार कीजिये, $m=\int _{j}^{k}f(x)g(x)$

यदि $f$ का प्रतिअवकलज $f'$ है, तो $m=f'(k)-f'(j)=-f'(j)-f'(k)=\int _{j}^{k}xdx$ प्राप्त करने के लिए कलन का दूसरा मूलभूत प्रमेय लागू किया जाता है

इसके अलावा, यदि $j=k,$ तो $m=f'(k)-f'(j)=-f'(j)-f'(j)=0$ अतः, $\int _{k}^{j}f(x)g(x)=0$

गुणधर्म 3 :

$\int _{j}^{k}f(x)dx=\int _{j}^{l}f(x)dx+\int _{l}^{k}f(x)dx$

यदि $f$ का प्रतिअवकलज $f'$ है, तो इसे प्राप्त करने के लिए कलन का दूसरा मूलभूत प्रमेय लागू किया जाता है

$\int _{j}^{k}f(x)dx=f'(k)-f'(j)....(1)$

$\int _{j}^{l}f(x)dx=f'(l)-f'(j)....(2)$

$\int _{l}^{k}f(x)dx=f'(k)-f'(l)....(3)$

समीकरण $(2)$ और $(3)$को जोड़ने पर , हमें प्राप्त होता है :

$\int _{j}^{l}f(x)dx+\int _{l}^{k}f(x)dx=f'(l)-f'(j)+f'(k)-f'(l)=f'(k)-f'(k)=\int _{j}^{k}f(x)dx$

गुणधर्म 4:

$\int _{j}^{k}f(x)g(x)=\int _{j}^{k}f(j+k-x)g(x)$

मान लीजिए ,$m=(j+k-x),$ या $x=(j+k-m),$ ताकि $dt=-dx...(4)$

साथ ही, ध्यान दें कि जब $x=j,m=k$ और जब $x=k,m=j$ । इसलिए, जब हम $x$ को $m$ से प्रतिस्थापित करेंगे तो इसे $\int _{k}^{j}$से प्रतिस्थापित कर दिया जाएगा। अतः, $\int _{j}^{k}f(x)dx=-\int _{j}^{k}f(j+k-m)dm$ समीकरण (4) से

गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि $\int _{j}^{k}f(x)dx=-\int _{j}^{k}f(x)dx$ ।

इस गुणधर्म का उपयोग करें, $\int _{j}^{k}f(x)dx=-\int _{j}^{k}f(j+k-x)dx$ प्राप्त करने के लिए

अब गुणधर्म 1 का उपयोग करें

$\int _{j}^{k}f(x)dx=\int _{j}^{k}f(j+k-x)dx$

गुणधर्म 5:

$\int _{o}^{k}f(x)g(x)=\int _{j}^{k}f(k-x)g(x)$

मान लीजिए, $m=(j-m)$ या $x=(k-m),$ ताकि $dm=-dx...(5)$

साथ ही यह भी देखें कि जब $x=0,m=j$ और जब $x=j,m=0$

अतः जब हम $x$ के स्थान पर $m$ रखेंगे तो $\int _{0}^{j}$ के स्थान पर $\int _{0}^{j}$ आ जाएगा।

अतः, $\int _{0}^{j}f(x)dx=-\int _{0}^{j}f(j-m)dx$ समीकरण ( 5 ) से

गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि

$\int _{j}^{k}f(x)dx=-\int _{j}^{k}f(x)dx$

इस गुणधर्म का उपयोग करें, प्राप्त करने के लिए

$\int _{0}^{j}f(x)dx=\int _{0}^{j}f(j-m)dx$

अब गुणधर्म 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$\int _{0}^{j}f(x)dx=\int _{0}^{j}f(j-x)dx$

गुणधर्म 6:

$\int _{0}^{2k}f(x)dx=\int _{0}^{k}f(x)dx+\int _{0}^{k}f(2k-x)dx...$ यदि $f(2k-x)=f(x)$

गुणधर्म 3 से हम जानते हैं कि

$\int _{j}^{k}f(x)g(x)=-\int _{j}^{l}f(x)g(x),$ साथ ही $\int _{j}^{l}f(x)g(x)=0$

इसलिए, इस गुणधर्म $\int _{0}^{2k}f(x)dx,$ को लागू करके हमें

$\int _{0}^{2k}f(x)dx=\int _{0}^{k}f(x)dx+\int _{0}^{2k}f(x)dx,$ प्राप्त हुआ , और मान लेने के बाद

$\int _{0}^{k}f(x)dx=L_{1},$ और $\int _{k}^{2k}f(x)dx=L_{2}$

$\int _{0}^{2k}f(x)dx=L_{1}+L_{2}...(1)$

अब, चलो मानते हुए $y=(2k-x)$ या $x=(2p-y),$ इसलिए कि $dy=-dx$

यह भी ध्यान रखें कि जब $x=p,$ तो $y=p,$ लेकिन जब $x=2k,y=0$। इसलिए, $L_{2}$  को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$L_{2}=\int _{k}^{2k}f(x)dx=\int _{k}^{0}f(2k-y)dy,$ और

गुण 2 से हम जानते हैं कि

$\int _{j}^{k}f(x)g(x)=-\int _{j}^{k}f(x)g(x)$

Using this property to the equation of L₂, we get

L₂ = -

f(2k - y)dy

Now, by using Property 1, we get

L₂ =

f(2k - x)dx , using this value of L₂ in the equation (1)

f(x)dx =  L₁ + L₂ =

f(x)dx +

f(2k - x)dx

Hence, proving the property 6 of the definite Integrals