स्थिति सदिश

स्थिति सदिश का उपयोग हमें एक वस्तु के सापेक्ष दूसरी वस्तु का स्थान ज्ञात करने में मदद करने के लिए किया जाता है। स्थिति सदिश आमतौर पर मूल बिंदु से शुरू होते हैं और फिर किसी अन्य मनमाने बिंदु पर समाप्त होते हैं। इस प्रकार, इन सदिशों का उपयोग किसी विशेष बिंदु की स्थिति को उसके मूल बिंदु के संदर्भ में निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इस लेख में, आइए स्थिति सदिशों, उनकी परिभाषा, हल किए गए उदाहरणों के साथ सूत्रों के बारे में जानें।

स्थिति वेक्टर क्या है?

स्थिति वेक्टर एक सीधी रेखा है जिसका एक छोर किसी पिंड से जुड़ा होता है और दूसरा छोर किसी गतिशील बिंदु से जुड़ा होता है और इसका उपयोग पिंड के सापेक्ष बिंदु की स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। जैसे-जैसे बिंदु गति करता है, स्थिति वेक्टर लंबाई या दिशा में या लंबाई और दिशा दोनों में बदलेगा।

स्थिति वेक्टर परिभाषा

स्थिति वेक्टर को एक वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी मनमाने संदर्भ बिंदु जैसे मूल के संबंध में किसी भी दिए गए बिंदु की स्थिति या स्थान को इंगित करता है। स्थिति वेक्टर की दिशा हमेशा उस वेक्टर के मूल से दिए गए बिंदु की ओर इंगित करती है।

• कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, यदि O मूल बिंदु है और P(x1, y1) एक अन्य बिंदु है, तो बिंदु O से बिंदु P तक निर्देशित होने वाला स्थिति सदिश OP के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, यदि मूल बिंदु O = (0,0,0) और P = (x1, y1, z1) है, तो बिंदु P का स्थिति सदिश v इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: v = x1i + y1j + z1k

आइए दो सदिशों, P और Q पर विचार करें, जिनके स्थान सदिश क्रमशः p = (2,4) और q = (3, 5) हैं। सदिश P और Q के निर्देशांक इस प्रकार लिखे जा सकते हैं: P = (2,4), Q = (3, 5)। आइए नीचे दी गई छवि में दिखाए गए मूल बिंदु O पर विचार करें। हम एक कण पर विचार करेंगे जो बिंदु P से बिंदु Q तक गति करता है। किसी कण के स्थान सदिश को उस सदिश के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो मूल बिंदु से उस बिंदु तक शुरू होता है जहाँ कण स्थित है।

उपरोक्त चित्र में, जब कण बिंदु P पर होता है तो उसका स्थिति सदिश OP होता है और जब वह बिंदु Q पर होता है तो OQ होता है।

स्थिति सदिश कैसे ज्ञात करें?

किसी बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात करने से पहले, उसके निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है। दो बिंदुओं, A और B पर विचार करें, जहाँ A = (x1, y1) और B = (x2, y2) है।

इसके बाद, हम बिंदु A से बिंदु B तक स्थिति सदिश, सदिश AB ज्ञात करेंगे।

इस स्थिति सदिश को निर्धारित करने के लिए, हमें A के संगत घटकों को B से घटाना होगा: AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j

स्थिति सदिश सूत्र

यदि हम xy-तल में किसी बिंदु की स्थिति जानते हैं, तो हम उन दो बिंदुओं के बीच स्थिति सदिश निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु A पर विचार करें, जिसके निर्देशांक xy-तल में (xk, yk) हैं, और दूसरा बिंदु B, जिसके निर्देशांक (xk+1, yk+1) हैं।

• A से B तक स्थिति सदिश निर्धारित करने का सूत्र AB = (xk+1 - xk, yk+1 - yk) है।
• स्थिति सदिश AB एक सदिश को संदर्भित करता है जो बिंदु A से शुरू होता है और बिंदु B पर समाप्त होता है।
• इसी तरह, यदि हम बिंदु B से बिंदु A तक स्थिति सदिश ज्ञात करना चाहते हैं, तो हम इसका उपयोग कर सकते हैं: BA = (xk - xk+1, yk - yk+1)

Example

Example 2: Given two points P = (-4, 6) and Q = (5, 11), determine the position vector QP.

Solution: If two points are given in the xy-coordinate system, then we can use the following formula to find the position vector QP:

QP = (x1 - x2, y1 - y2)

Where (x1, y1) represents the coordinates of point P and (x2, y2) represents the point Q coordinates. Note that the position vector QP represents a vector directed from point Q towards point P. It is different from the position vector PQ, which is directed from P to Q. Thus, by simply putting the values of points P and Q in the above equation, we can find the position vector QP:

QP = (-4-5, 6-11)

QP = (-9, -5) = -9 i - 5 j

Thus, the position vector QP is equivalent to a vector that starts at the origin. This vector is directed to a point of 9 units that is to the left along the x-axis, and 5 units downward along the y-axis.

स्थिति सदिश पर महत्वपूर्ण नोट्स

यहाँ कुछ बिंदुओं की सूची दी गई है जिन्हें स्थिति सदिश का अध्ययन करते समय याद रखना चाहिए

• स्थिति सदिश को एक सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है जो मूल बिंदु जैसे किसी भी मनमाने संदर्भ बिंदु के संबंध में किसी दिए गए बिंदु की स्थिति या स्थान को इंगित करता है।
• स्थिति सदिश की दिशा हमेशा उस सदिश के मूल बिंदु से दिए गए बिंदु की ओर इंगित करती है।