दिक्-कोसाइन: Difference between revisions

Revision as of 12:58, 15 December 2024

दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष, $z$ -अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।

आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोसाइन

परिभाषा

दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोसाइन $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोसाइन को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$ के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा $OA$ की दिक्- कोसाइन है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

दिक्- कोसाइन के बीच संबंध

बिंदु $(a,b,c)$ को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी $r$ है। यहाँ इन दिक्- कोसाइन के मान $Cos\alpha =a/r,Cos\beta =b/r,Cos\gamma =c/r$ . हैं दूरी $r$ का मान ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ है

यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिक्- कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =a^{2}/r^{2}+b^{2}/r^{2}+c^{2}/r^{2}$

Cos²α + Cos²β + Cos²γ = (a² + b² + c²)/r² $Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =(a^{2}+b^{2}+c^{2})/r^{2}$

लेकिन हमारे पास $r^{2}={a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =r^{2}/r^{2}$

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =1$

आइए अब हम $l=Cos\alpha ,m=Cos\beta ,n=Cos\gamma$ पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिक्- कोसाइन के बीच संबंध $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है।

त्रि-आयामी ज्यामिति में दिक्- कोसाइन

दो बिंदुओं $(x_{1},y_{1},z_{1})$ और $(x_{2},y_{2},z_{2})$ को मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिक्- अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिक्- अनुपात $x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}$ है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$ है।

किसी रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिक्- अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिक्- कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।

दिक्-कोसाइन $=(x_{2}-x_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2},y_{2}-y_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2},z_{2}-z_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})$

उदाहरण

उदाहरण : बिंदु $(-4,2,3)$ को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन ज्ञात करें।

समाधान:

मूल बिंदु $(0,0,0)$ और बिंदु $(-4,2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात $-4,2,3$ हैं।

रेखा का परिमाण $={\sqrt {(-4)^{2}+2^{2}+3^{2})}}={\sqrt {29}}$

इसलिए दिक्- कोसाइन $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।

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-दिशा कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिशा कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर या एक सीधी रेखा के लिए की जा सकती है। यह तीन अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
+दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
-आइए दिशा कोसाइन, दिशा कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिशा कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
+आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
-[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोसाइन]]
+[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोसाइन|251x251px]]
-दिशा कोसाइन क्या है?
-दिशा कोसाइन तीन आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर या रेखा का संबंध तीन अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिशा कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण α, β और γ हैं, तो दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ हैं।
+== परिभाषा ==
+दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
-एक सदिश के लिए दिशा कोसाइन
+एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोसाइन <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
-→A=a^i+b^j+c ^k is Cosα = a√a2+b2+c2, Cosβ = b√a2+b2+c2, Cosγ = c√a2+b2+c2.
+हैं।
-दिशा कोसाइन को l, m, n द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिशा कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं l =
-a√a2+b2+c2, m = b√a2+b2+c2, n = c√a2+b2+c2.
-त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु A (a, b, c) के लिए दिशा कोसाइन इस बिंदु को मूल O से जोड़ने वाली रेखा की दिशा कोसाइन है। रेखा OA की दिशा कोसाइन है  l = a√a2+b2+c2, m = b√a2+b2+c2, n = c√a2+b2+c2.
-== दिशा कोसाइन के बीच संबंध ==
+दिक्- कोसाइन को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोसाइन है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
-बिंदु (a, b, c) को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी r है। यहाँ इन दिशा कोसाइन के मान Cosα = a/r, Cosβ=b/r, Cosγ=c/r.  हैं  दूरी r का मान √a2+b2+c2 है
-यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिशा कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिशा कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।
+== दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ==
+बिंदु <math>(a, b, c)</math> को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math>  है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी <math>r</math> है। यहाँ इन दिक्- कोसाइन के मान <math>Cos\alpha = a/r, Cos\beta=b/r, Cos\gamma=c/r</math>.  हैं  दूरी <math>r</math> का मान <math>\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math> है
-Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = a<sup>2</sup>/r<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>/r<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>/r<sup>2</sup>
+यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिक्- कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।
-Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>)/r<sup>2</sup>
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma = a^2/r^2 + b^2/r^2 + c^2/r^2</math>
-लेकिन हमारे पास r2 = a2+b2+c2 है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
+Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>)/r<sup>2</sup> <math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma = (a^2+ b^2 + c^2)/r^2</math>
-Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = r<sup>2</sup>/r<sup>2</sup>
+लेकिन हमारे पास <math>r^2= {a^2+b^2+c^2}</math> है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
-Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = 1
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma = r^2/r^2</math>
-आइए अब हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma =1</math>
-== त्रि-आयामी ज्यामिति में दिशा कोसाइन ==
+आइए अब हम <math>l = Cos\alpha, m = Cos\beta, n = Cos\gamma</math> पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिक्- कोसाइन के बीच संबंध <math>l^2 + m^2 + n^2 = 1</math> है।
-दो बिंदुओं (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) को मिलाने वाली रेखा की दिशा कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिशा अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिशा अनुपात x2−x1, y2−y1, z2−z1 है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 है।
-किसी रेखा की दिशा कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिशा अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिशा कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।
+== त्रि-आयामी ज्यामिति में दिक्- कोसाइन ==
+दो बिंदुओं <math>(x_1,y_1,z_1)</math>और <math>(x_2,y_2,z_2)</math> को मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिक्- अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिक्- अनुपात <math>x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1</math> है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी <math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}</math> है।
-Direction Cosines =
+किसी रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिक्- अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिक्- कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।
-(x2−x1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,y2−y1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,z2−z1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2)
+दिक्-कोसाइन <math>=(x_2-x_1\sqrt{(x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2,y_2-y_1\sqrt{(x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2,z_2-z_1\sqrt{(x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1) ^2)</math>
 == उदाहरण ==
-उदाहरण : बिंदु (-4, 2, 3) को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करें।
+'''उदाहरण''' : बिंदु <math>(-4, 2, 3)</math> को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन ज्ञात करें।
-समाधान:
+'''समाधान''':
-मूल बिंदु (0, 0, 0) और बिंदु (-4, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा के लिए दिशा अनुपात -4, 2, 3 हैं।
+मूल बिंदु <math>(0, 0, 0)</math>और बिंदु <math>(-4, 2, 3)</math> को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात <math>-4, 2, 3</math> हैं।
-रेखा का परिमाण =√(−4)2+22+32)=√29
+रेखा का परिमाण <math>=\sqrt{(-4)^2+2^2+3^2)}=\sqrt{29}</math>
-इसलिए दिशा कोसाइन (-4/√29, 2/√29, 3/√29) हैं।
+इसलिए दिक्- कोसाइन <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
-इसलिए दिशा कोसाइन (-4/√29, 2/√29, 3/√29) हैं।
+इसलिए दिक्- कोसाइन <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
 [[Category:सदिश बीजगणित]]