दिक्-कोसाइन

दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष, $z$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।

आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोसाइन

परिभाषा

दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$, $\beta$और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोसाइन $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोसाइन को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा $OA$ की दिक्- कोसाइन है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

दिक्- कोसाइन के बीच संबंध

बिंदु $(a,b,c)$ को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी $r$ है। यहाँ इन दिक्- कोसाइन के मान $Cos\alpha =a/r,Cos\beta =b/r,Cos\gamma =c/r$. हैं दूरी $r$ का मान ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ है

यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिक्- कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =a^{2}/r^{2}+b^{2}/r^{2}+c^{2}/r^{2}$

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =(a^{2}+b^{2}+c^{2})/r^{2}$

लेकिन हमारे पास $r^{2}={a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =r^{2}/r^{2}$

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =1$

आइए अब हम $l=Cos\alpha ,m=Cos\beta ,n=Cos\gamma$ पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिक्- कोसाइन के बीच संबंध $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है।

त्रि-आयामी ज्यामिति में दिक्- कोसाइन

दो बिंदुओं $(x_{1},y_{1},z_{1})$और $(x_{2},y_{2},z_{2})$ को मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिक्- अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिक्- अनुपात $x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}$ है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$ है।

किसी रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिक्- अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिक्- कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।

दिक्-कोसाइन $=(x_{2}-x_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2},y_{2}-y_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2},z_{2}-z_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})$

उदाहरण

उदाहरण : बिंदु $(-4,2,3)$ को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन ज्ञात करें।

समाधान:

मूल बिंदु $(0,0,0)$और बिंदु $(-4,2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात $-4,2,3$ हैं।

रेखा का परिमाण $={\sqrt {(-4)^{2}+2^{2}+3^{2})}}={\sqrt {29}}$

इसलिए दिक्- कोसाइन $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।

इसलिए दिक्- कोसाइन $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।