दो समतलो के बीच का कोण: Difference between revisions

Latest revision as of 14:36, 17 December 2024

दो समतलों के बीच का कोण दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण से निर्धारित होता है। इसे समतल के सदिश रूप और कार्टेशियन रूप समीकरण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। सदिश रूप में दो समतलों के बीच का कोण दो समतलों के अभिलंब सदिशों के डॉट उत्पाद का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। हम सदिश रूप और कार्टेशियन रूप में दो समतलों के बीच के कोण को निर्धारित कर सकते हैं और यह दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है।

दो समतलों के बीच के कोण को द्विफलकीय कोण भी कहा जाता है। इस लेख में, हम दो समतलों के बीच के कोण की अवधारणा और सदिश रूप और कार्टेशियन रूप में इसके सूत्र का पता लगाएंगे। अवधारणा की बेहतर समझ के लिए हम इन सूत्रों के आधार पर कुछ उदाहरण हल करेंगे।

दो समतलो के बीच का कोण

दो समतलों के बीच का कोण क्या है?

दो समतलों के बीच का कोण, दो समतलों के अभिलंब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। हम समतल के कार्टेशियन समीकरण और समतल के सदिश समीकरण का उपयोग करके दो समतलों के बीच का कोण निर्धारित कर सकते हैं। चूँकि दो समतलों के बीच का कोण इन दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण द्वारा दिया जाता है, इसलिए हम उनके बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र में अभिलंब सदिशों के अदिश गुणनफल और परिमाण का उपयोग करते हैं। सदिश रूप में, समतल का समीकरण $r.n=d$ द्वारा दिया जाता है, और इसका कार्टेशियन समीकरण $Ax+By+Cz+D=0$ द्वारा दिया जाता है। अब, आइए दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्रों को देखें।

दो समतलों के बीच का कोण सूत्र

अब, दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए दो सूत्र हैं। सूत्र सदिश रूप और कार्टेशियन रूप में उपस्थित हैं। दो समतल $P_{1}$ और $P_{2}$ पर विचार करें और उनके बीच का कोण $\theta$ है। सदिश रूप में दो समतलों के समीकरण $r.n_{1}=d_{1}$ और $r.n_{2}=d_{2}$ हैं और कार्टेशियन रूप में दो समतलों के समीकरण $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ और $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ हैं। फिर, दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के सूत्र हैं:

$cos\theta =|(n_{1}.n_{2})/|(|n_{1}|.|n_{2}|)$
$cos\theta =|(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2})|/[{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})}}{\sqrt {(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}]$

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, हम $cos\theta$ का मान निर्धारित कर सकते हैं और $\theta$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों पर $cos$ व्युत्क्रम ले सकते हैं, और इस प्रकार, दो तलों के बीच का कोण भी ज्ञात कर सकते हैं।

सदिश रूप में दो समतलों के बीच का कोण

आइए अब सदिश रूप में दो समतलों के बीच के कोण के सूत्र पर आधारित एक उदाहरण हल करें। समतलों के लिए, $r.n_{1}=d_{1}$ और $r.n_{2}=d_{2}$ , हम सूत्र $cos\theta =|(n_{1}.n_{2})/(|n_{1}|.|n_{2}|)$ का उपयोग करेंगे, जहाँ $n_{1}$ , और $n_{2}$ दो समतलों के अभिलम्ब सदिश हैं और $\theta$ दो समतलों के बीच का कोण है।

उदाहरण: दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करें जिनके सदिश समीकरण $r.(2i+2j-3k)=4$ और $r.(3i-3j+5k)=3$ दिए गए हैं।

समाधान: समतलों के समीकरण सदिश रूप में दिए गए हैं। अब समतलों $r.(2i+2j-3k)=4$ और $r.(3i-3j+5k)=3$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र $cos\theta =|(n_{1}.n_{2})/(|n_{1}|.|n_{2}|)$ का उपयोग करेंगे। हमारे पास है,

$n_{1}=2i+2j-3k,n_{2}=3i-3j+5k$

$|n_{1}|={\sqrt {(2^{2}+2^{2}+(-3)^{2})}}={\sqrt {(4+4+9)}}={\sqrt {17}}$

$|n_{2}|={\sqrt {(3^{2}+(-3)^{2}+5^{2})}}={\sqrt {(9+9+15)}}={\sqrt {43}}$

अभिलम्ब सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है, $n_{1}.n_{2}=(2i+2j-3k).(3i-3j+5k)=2\times 3+2\times (-3)+(-3)\times 5=6-6-15=-15$

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

$cos\theta =|(-15)|/({\sqrt {17}}.{\sqrt {43}})$

$=15/{\sqrt {731}}$

$\Rightarrow \theta =cos^{-1}(15/{\sqrt {731}})$ [दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम कोसाइन लेते हुए]

$=0.983$

इसलिए, दो समतलों $r.(2i+2j-3k)=4$ और $r.(3i-3j+5k)=3$ के बीच का कोण $cos^{-1}(15/{\sqrt {731}})=0.983$ रेडियन के बराबर है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

दो समतलों के बीच का कोण, दोनों समतलों के अभिलम्ब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है तथा इसे द्विफलकीय कोण कहते हैं।

तलों , $r.n_{1}=d_{1}$ और $r.n_{2}=d_{2}$ ,के लिए उनके बीच का कोण $cos\theta =|(n_{1}.n_{2})/(|n_{1}|.|n_{2}|)$ इस प्रकार दिया जाता है,
तलों $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ और $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ , के लिए कार्टेशियन रूप में दो समतलों के बीच का कोण इस प्रकार दिया जाता है, $cos\theta =|(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2})|/[{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})}}{\sqrt {(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}]$

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-दो समतलों के बीच का कोण दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण से निर्धारित होता है। इसे समतल के सदिश रूप और कार्तीय रूप समीकरण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। सदिश रूप में दो समतलों के बीच का कोण दो समतलों के अभिलंब सदिशों के डॉट उत्पाद का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। हम सदिश रूप और कार्तीय रूप में दो समतलों के बीच के कोण को निर्धारित कर सकते हैं और यह दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है।
+दो समतलों के बीच का कोण दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण से निर्धारित होता है। इसे समतल के सदिश रूप और [[कार्टेशियन पद्धति|कार्टेशियन]]  रूप समीकरण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। सदिश रूप में दो समतलों के बीच का कोण दो समतलों के अभिलंब सदिशों के डॉट उत्पाद का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। हम सदिश रूप और कार्टेशियन  रूप में दो समतलों के बीच के कोण को निर्धारित कर सकते हैं और यह दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है।
-दो समतलों के बीच के कोण को द्विफलकीय कोण भी कहा जाता है। इस लेख में, हम दो समतलों के बीच के कोण की अवधारणा और सदिश रूप और कार्तीय रूप में इसके सूत्र का पता लगाएंगे। अवधारणा की बेहतर समझ के लिए हम इन सूत्रों के आधार पर कुछ उदाहरण हल करेंगे।
+दो [[समतल से दीए गए बिन्दु की दूरी|समतलों के बीच के कोण]] को द्विफलकीय कोण भी कहा जाता है। इस लेख में, हम दो समतलों के बीच के कोण की अवधारणा और सदिश रूप और कार्टेशियन रूप में इसके सूत्र का पता लगाएंगे। अवधारणा की बेहतर समझ के लिए हम इन सूत्रों के आधार पर कुछ उदाहरण हल करेंगे।
+[[File:दो समतलो के बीच का कोण.jpg|thumb|दो समतलो के बीच का कोण]]
 == दो समतलों के बीच का कोण क्या है? ==
-दो समतलों के बीच का कोण, दो समतलों के अभिलंब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। हम समतल के कार्तीय समीकरण और समतल के सदिश समीकरण का उपयोग करके दो समतलों के बीच का कोण निर्धारित कर सकते हैं। चूँकि दो समतलों के बीच का कोण इन दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण द्वारा दिया जाता है, इसलिए हम उनके बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र में अभिलंब सदिशों के अदिश गुणनफल और परिमाण का उपयोग करते हैं। सदिश रूप में, समतल का समीकरण r.n = d द्वारा दिया जाता है, और इसका कार्तीय समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया जाता है। अब, आइए दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्रों को देखें।
+दो समतलों के बीच का कोण, दो समतलों के अभिलंब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। हम समतल के कार्टेशियन  समीकरण और समतल के सदिश समीकरण का उपयोग करके दो समतलों के बीच का कोण निर्धारित कर सकते हैं। चूँकि दो समतलों के बीच का कोण इन दो समतलों के अभिलंबों के बीच के कोण द्वारा दिया जाता है, इसलिए हम उनके बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र में अभिलंब सदिशों के अदिश गुणनफल और परिमाण का उपयोग करते हैं। सदिश रूप में, समतल का समीकरण <math>r.n = d</math> द्वारा दिया जाता है, और इसका कार्टेशियन  समीकरण <math>Ax + By + Cz + D = 0</math> द्वारा दिया जाता है। अब, आइए दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्रों को देखें।
 == दो समतलों के बीच का कोण सूत्र ==
-अब, दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए दो सूत्र हैं। सूत्र सदिश रूप और कार्तीय रूप में मौजूद हैं। दो समतल P1 और P2 पर विचार करें और उनके बीच का कोण θ है। सदिश रूप में दो समतलों के समीकरण r.n1 = d1 और r.n2 = d2 हैं और कार्तीय रूप में दो समतलों के समीकरण A1x + B1y + C1z + D1 = 0 और A2x + B2y + C2z + D2 = 0 हैं। फिर, दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के सूत्र हैं:
+अब, दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए दो सूत्र हैं। सूत्र सदिश रूप और कार्टेशियन  रूप में उपस्थित हैं। दो समतल <math>P_1</math> और <math>P_2</math> पर विचार करें और उनके बीच का कोण <math>\theta</math> है। सदिश रूप में दो समतलों के समीकरण <math>r.n_1 = d_1</math> और <math>r.n_2 = d_2</math> हैं और कार्टेशियन  रूप में दो समतलों के समीकरण <math>A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0</math> और <math>A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0</math> हैं। फिर, दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के सूत्र हैं:
-* cos θ = |(n1 . n2)/|(|n1|.|n2|)
+* <math>cos \theta = |(n_1 . n_2)/|(|n_1|.|n_2|)</math>
-* cos θ = |(A1A2 + B1B2 + C1C2)|/[√(A1<sup>2</sup> + B1<sup>2</sup> + C1<sup>2</sup>)√(A2<sup>2</sup> + B2<sup>2</sup> + C2<sup>2</sup>)]
+* <math>cos \theta = |(A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2)|/[\sqrt{(A_1^2 + B_1^2 + C_1^2)}\sqrt{(A_2^2 + B_2^2 + C_2^2)}]</math>
-उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, हम cos θ का मान निर्धारित कर सकते हैं और θ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों पर cos व्युत्क्रम ले सकते हैं, और इस प्रकार, दो तलों के बीच का कोण भी ज्ञात कर सकते हैं।
+उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, हम <math>cos \theta</math> का मान निर्धारित कर सकते हैं और <math>\theta</math> का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों पर <math>cos</math> व्युत्क्रम ले सकते हैं, और इस प्रकार, दो तलों के बीच का कोण भी ज्ञात कर सकते हैं।
 == सदिश रूप में दो समतलों के बीच का कोण ==
-आइए अब सदिश रूप में दो समतलों के बीच के कोण के सूत्र पर आधारित एक उदाहरण हल करें। समतलों के लिए, r.n1 = d1 और r.n2 = d2, हम सूत्र cos θ = |(n1 . n2)/(|n1|.|n2|) का उपयोग करेंगे, जहाँ n1 , और n2 दो समतलों के सामान्य सदिश हैं और θ दो समतलों के बीच का कोण है।
+आइए अब सदिश रूप में दो समतलों के बीच के कोण के सूत्र पर आधारित एक उदाहरण हल करें। समतलों के लिए, <math>r.n_1 = d_1</math> और <math>r.n_2 = d_2</math>, हम सूत्र  <math>cos \theta = |(n_1 . n_2)/(|n_1|.|n_2|)</math> का उपयोग करेंगे, जहाँ <math>n_1</math> , और <math>n_2</math>दो समतलों के अभिलम्ब  सदिश हैं और <math>\theta</math> दो समतलों के बीच का कोण है।
-उदाहरण: दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करें जिनके सदिश समीकरण r.(2i + 2j - 3k) = 4 और r.(3i - 3j + 5k) = 3 दिए गए हैं।
+'''उदाहरण''': दो समतलों के बीच का कोण ज्ञात करें जिनके सदिश समीकरण  <math>r.(2i + 2j - 3k) = 4</math> और <math>r.(3i - 3j + 5k) = 3</math> दिए गए हैं।
-समाधान: समतलों के समीकरण सदिश रूप में दिए गए हैं। अब समतलों r.(2i + 2j - 3k) = 4 और r.(3i - 3j + 5k) = 3 के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र cos θ = |(n1 . n2)|/(|n1|.|n2|) का उपयोग करेंगे। हमारे पास है,
+'''समाधान''': समतलों के समीकरण सदिश रूप में दिए गए हैं। अब समतलों <math>r.(2i + 2j - 3k) = 4</math> और<math>r.(3i - 3j + 5k) = 3</math> के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र <math>cos \theta = |(n_1 . n_2)/(|n_1|.|n_2|)</math> का उपयोग करेंगे। हमारे पास है,
-n1 = 2i + 2j - 3k, n2 = 3i - 3j + 5k
+<math>n_1 = 2i + 2j - 3k, n_2 = 3i - 3j + 5k</math>
-|n1| = √(2<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + (-3)<sup>2</sup>) = √(4 + 4 + 9) = √17
+<math>|n_1| = \sqrt{(2^2 + 2^2 + (-3)^2)} = \sqrt{(4 + 4 + 9)} = \sqrt{17}</math>
-|n2| = √(3<sup>2</sup> + (-3)<sup>2</sup> + 5<sup>2</sup>) = √(9 + 9 + 15) = √43
+<math>|n_2| = \sqrt{(3^2 + (-3)^2 + 5^2)} = \sqrt{(9 + 9 + 15)} = \sqrt{43}</math>
-सामान्य सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है, n1 . n2 = (2i + 2j - 3k) . (3i - 3j + 5k) = 2 × 3 + 2 × (-3) + (-3) × 5 = 6 - 6 - 15 = -15
+अभिलम्ब  सदिशों का अदिश गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है, <math>n_1 . n_2 = (2i + 2j - 3k) . (3i - 3j + 5k) = 2 \times 3 + 2 \times (-3) + (-3) \times 5 = 6 - 6 - 15 = -15</math>
 इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है
-cos θ = |(-15)|/(√17 . √43)
+<math>cos \theta = |(-15)|/(\sqrt{17} . \sqrt{43})</math>
-= 15/√731
+<math>=15/\sqrt{731}</math>
-⇒ θ = cos-1(15/√731) [दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम कोसाइन लेते हुए]
+<math>\Rightarrow \theta = cos^{-1}(15/\sqrt{731})</math> [दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम कोसाइन लेते हुए]
-= 0.983
+<math>= 0.983</math>
-इसलिए, दो समतलों r.(2i + 2j - 3k) = 4 और r.(3i - 3j + 5k) = 3 के बीच का कोण cos-1(15/√731) = 0.983 रेडियन के बराबर है।
+इसलिए, दो समतलों  <math>r.(2i + 2j - 3k) = 4</math> और <math>r.(3i - 3j + 5k) = 3</math> के बीच का कोण <math>cos^{-1}(15/\sqrt{731}) = 0.983</math> [[रेडियन माप|रेडियन]] के बराबर है।
-== दो समतलों के बीच के कोण पर महत्वपूर्ण नोट्स ==
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
-दो समतलों के बीच का कोण, दो समतलों के अभिलंब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है और इसे द्विफलकीय कोण कहते हैं।
-तलों के लिए, r.n1 = d1 और r.n2 = d2, उनके बीच का कोण इस प्रकार दिया जाता है, cos θ = |(n1 . n2)/(|n1|.|n2|)
+* दो समतलों के बीच का कोण, दोनों समतलों के अभिलम्ब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है तथा इसे द्विफलकीय कोण कहते हैं।
-तलों के लिए, A1x + B1y + C1z + D1 = 0 और A2x + B2y + C2z + D2 = 0, कार्तीय रूप में दो समतलों के बीच का कोण इस प्रकार दिया जाता है, cos θ = |(A1A2 + B1B2 + C1C2)|/[√(A12 + B12 + C12)√(A22 + B22 + C22)]
+* तलों ,<math>r.n_1 = d_1</math> और <math>r.n_2 = d_2</math>,के लिए  उनके बीच का कोण  <math>cos \theta = |(n_1 . n_2)/(|n_1|.|n_2|)</math> इस प्रकार दिया जाता है,
+* तलों  <math>A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0</math>  और <math>A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0</math>, के लिए  कार्टेशियन  रूप में दो समतलों के बीच का कोण इस प्रकार दिया जाता है, <math>cos \theta = |(A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2)|/[\sqrt{(A_1^2 + B_1^2 + C_1^2)}\sqrt{(A_2^2 + B_2^2 + C_2^2)}]</math>
 [[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]