दो रेखाओं का सह-तलीय होना: Difference between revisions

Revision as of 15:34, 17 December 2024

ज्यामिति में दो शब्द हैं जो "co(सह)" से प्रारंभ होते हैं और एक जैसे और भ्रमित करने वाले लगते हैं। वे समरेखीय और सह-तलीय हैं। इनमें से प्रत्येक शब्द में, "co" का अर्थ है एक साथ, "रैखिक" का अर्थ है एक रेखा पर स्थित होना, और "प्लानर" का अर्थ है एक समतल पर स्थित होना। इस प्रकार, समरेखीय का अर्थ है कि एक साथ एक रेखा पर स्थित होना और सह-तलीय का अर्थ है कि एक साथ एक समतल पर स्थित होना।

आइए इस लेख में सह-तलीय बिंदुओं और सह-तलीय रेखाओं के बारे में अधिक जानें। साथ ही, आइए देखें कि निर्देशांक ज्यामिति में दिए गए बिंदुओं और दी गई रेखाओं के सह-तलीय होने का निर्धारण कैसे किया जाता है।

सह-तलीय का अर्थ

"सह-तलीय " शब्द का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित होना"। तो स्पष्ट है, "गैर सह-तलीय " का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित न होना"। ज्यामिति में, हम सह-तलीय ता के संबंध में दो चीजों का अध्ययन करते हैं:

सह-तलीय बिंदु
सह-तलीय रेखाएँ

सह-तलीय और गैर सह-तलीय बिंदु

जो बिंदु एक ही तल पर स्थित होते हैं उन्हें सह-तलीय बिंदु कहते हैं और इसलिए जो बिंदु एक ही तल पर नहीं होते हैं उन्हें गैर सह-तलीय बिंदु कहते हैं। हम जानते हैं कि $2D$ में दो बिंदु सदैव एक रेखा से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी दो बिंदु संरेखीय होते हैं। उसी तरह, $3D$ में तीन बिंदु सदैव एक तल से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी 3 बिंदु सदैव सह-तलीय होते हैं। लेकिन $3D$ में चार या उससे ज़्यादा बिंदु सह-तलीय नहीं हो सकते हैं।

सह-तलीय और गैर सह-तलीय रेखाएँ

दो या दो से अधिक रेखाएँ सह-तलीय कहलाती हैं यदि वे एक ही तल पर स्थित हों, और वे रेखाएँ जो एक ही तल पर स्थित न हों, उन्हें गैर-सह-तलीय रेखाएँ कहते हैं। निम्नलिखित आयताकार प्रिज्म पर विचार करें।

ज्यामिति में सह-तलीय रेखाएँ

ऊपर दिए गए आयताकार प्रिज्म में, यहाँ कुछ सह-तलीय रेखाएँ हैं:

$AD$ और $DH$ क्योंकि वे प्रिज्म के बाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
$AB$ और $CD$ क्योंकि वे प्रिज्म के निचले चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
$BC$ और $FG$ क्योंकि वे प्रिज्म के दाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।

निर्धारण

दो रेखाएँ सह-तलीय तब कहलाती हैं जब वे एक ही तल में उपस्थित हों। यहाँ दो रेखाओं के सदिश रूप और कार्टेशियन रूप दोनों में सह-तलीय होने की शर्तें दी गई हैं।

सदिश रूप में रेखाओं की सह-तलीयता के लिए शर्त

यदि दो रेखाओं के सदिश समीकरण ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {a}}+k{\overrightarrow {p}}$ और ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {b}}+k{\overrightarrow {q}}$ के रूप के हैं तो वे सहसमतलीय तभी होंगे यदि और केवल यदि $({\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {a}})\cdot ({\overrightarrow {p}}\times {\overrightarrow {q}})=0$

कार्टेशियन रूप में रेखाओं की सह-तलीयता के लिए शर्त

यदि दो रेखाओं के कार्टेशियन समीकरण ${\frac {x-x_{1}}{a_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{b_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{c_{1}}}$ और ${\frac {x-x_{2}}{a_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{b_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{c_{2}}}$ के रूप के हैं, तो रेखाएँ सहसमतलीय होती हैं यदि और केवल यदि निर्धारक सारणिक ${\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}=0$

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

कोई भी दो बिंदु सदैव सह-तलीय होते हैं।
कोई भी तीन बिंदु सदैव सह-तलीय होते हैं।
चार या उससे अधिक बिंदु सह-तलीय होते हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर उपस्थित हों।
दो या उससे अधिक रेखाएँ सह-तलीय होती हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर उपस्थित हों।

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-ज्यामिति में दो शब्द हैं जो "co" से शुरू होते हैं और एक जैसे और भ्रमित करने वाले लगते हैं। वे कॉलिनियर और कॉपलनर हैं। इनमें से प्रत्येक शब्द में, "co" का अर्थ है एक साथ, "रैखिक" का अर्थ है एक रेखा पर स्थित होना, और "प्लानर" का अर्थ है एक समतल पर स्थित होना। इस प्रकार, कॉलिनियर का अर्थ है कि एक साथ एक रेखा पर स्थित होना और कॉपलनर का अर्थ है कि एक साथ एक समतल पर स्थित होना।
+ज्यामिति में दो शब्द हैं जो "co(सह)" से प्रारंभ होते हैं और एक जैसे और भ्रमित करने वाले लगते हैं। वे समरेखीय और सह-तलीय  हैं। इनमें से प्रत्येक शब्द में, "co" का अर्थ है एक साथ, "रैखिक" का अर्थ है एक रेखा पर स्थित होना, और "प्लानर" का अर्थ है एक समतल पर स्थित होना। इस प्रकार, समरेखीय का अर्थ है कि एक साथ एक रेखा पर स्थित होना और सह-तलीय  का अर्थ है कि एक साथ एक समतल पर स्थित होना।
-आइए इस लेख में कुछ उदाहरणों के साथ कॉपलनर बिंदुओं और कॉपलनर रेखाओं के बारे में अधिक जानें। साथ ही, आइए देखें कि निर्देशांक ज्यामिति में दिए गए बिंदुओं और दी गई रेखाओं के कॉपलनर होने का निर्धारण कैसे किया जाता है।
+आइए इस लेख में  सह-तलीय  बिंदुओं और सह-तलीय  रेखाओं के बारे में अधिक जानें। साथ ही, आइए देखें कि निर्देशांक ज्यामिति में दिए गए बिंदुओं और दी गई रेखाओं के सह-तलीय  होने का निर्धारण कैसे किया जाता है।
-== सहसमतलीय का अर्थ क्या है? ==
+== सह-तलीय का अर्थ ==
-"सहसमतलीय" शब्द का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित होना"। तो जाहिर है, "गैरसमतलीय" का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित न होना"। ज्यामिति में, हम सहसमतलीयता के संबंध में दो चीजों का अध्ययन करते हैं:
+"सह-तलीय " शब्द का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित होना"। तो स्पष्ट है, "गैर सह-तलीय " का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित न होना"। ज्यामिति में, हम सह-तलीय ता के संबंध में दो चीजों का अध्ययन करते हैं:
-* समतलीय बिंदु
+* सह-तलीय  बिंदु
-* समतलीय रेखाएँ
+* सह-तलीय  रेखाएँ
+[[File:सह-तलीय और गैर सह-तलीय बिंदु.jpg|thumb|233x233px|सह-तलीय और गैर सह-तलीय बिंदु]]
-=== समतलीय और गैर समतलीय बिंदु ===
+=== सह-तलीय और गैर सह-तलीय  बिंदु ===
-जो बिंदु एक ही तल पर स्थित होते हैं उन्हें समतलीय बिंदु कहते हैं और इसलिए जो बिंदु एक ही तल पर नहीं होते हैं उन्हें गैर समतलीय बिंदु कहते हैं। हम जानते हैं कि 2D में दो बिंदु हमेशा एक रेखा से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी दो बिंदु संरेखीय होते हैं। उसी तरह, 3D में तीन बिंदु हमेशा एक तल से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी 3 बिंदु हमेशा समतलीय होते हैं। लेकिन 3D में चार या उससे ज़्यादा बिंदु समतलीय नहीं हो सकते हैं। इसलिए हम समतलीय बिंदुओं और गैर समतलीय बिंदुओं को निम्न उदाहरण के अनुसार परिभाषित करते हैं:
+जो बिंदु एक ही तल पर स्थित होते हैं उन्हें सह-तलीय  बिंदु कहते हैं और इसलिए जो बिंदु एक ही तल पर नहीं होते हैं उन्हें गैर सह-तलीय  बिंदु कहते हैं। हम जानते हैं कि <math>2D</math> में दो बिंदु सदैव एक रेखा से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी दो बिंदु संरेखीय होते हैं। उसी तरह, <math>3D</math> में तीन बिंदु सदैव एक तल से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी 3 बिंदु सदैव सह-तलीय  होते हैं। लेकिन <math>3D</math> में चार या उससे ज़्यादा बिंदु सह-तलीय  नहीं हो सकते हैं।
+[[File:सह-तलीय और गैर सह-तलीय रेखाएँ.jpg|thumb|220x220px|सह-तलीय और गैर सह-तलीय रेखाएँ]]
-=== समतलीय और गैर समतलीय रेखाएँ ===
+=== सह-तलीय और गैर सह-तलीय रेखाएँ ===
-दो या दो से अधिक रेखाएँ समतलीय कहलाती हैं यदि वे एक ही तल पर स्थित हों, और वे रेखाएँ जो एक ही तल पर स्थित न हों, उन्हें गैर-समतलीय रेखाएँ कहते हैं। निम्नलिखित आयताकार प्रिज्म पर विचार करें।
+दो या दो से अधिक रेखाएँ सह-तलीय  कहलाती हैं यदि वे एक ही तल पर स्थित हों, और वे रेखाएँ जो एक ही तल पर स्थित न हों, उन्हें गैर-सह-तलीय  रेखाएँ कहते हैं। निम्नलिखित आयताकार प्रिज्म पर विचार करें।
+== ज्यामिति में सह-तलीय रेखाएँ ==
+ऊपर दिए गए आयताकार प्रिज्म में, यहाँ कुछ सह-तलीय रेखाएँ हैं:
+* <math>AD</math> और  <math>DH</math> क्योंकि वे प्रिज्म के बाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
+* <math>AB</math> और  <math>CD</math> क्योंकि वे प्रिज्म के निचले चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
+* <math>BC</math> और <math>FG</math>  क्योंकि वे प्रिज्म के दाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
-== ज्यामिति में सहसमतलीय रेखाएँ ==
+== निर्धारण ==
-ऊपर दिए गए आयताकार प्रिज्म में, यहाँ कुछ सहसमतलीय रेखाएँ हैं:
+दो रेखाएँ सह-तलीय  तब कहलाती हैं जब वे एक ही तल में उपस्थित हों। यहाँ दो रेखाओं के सदिश रूप और कार्टेशियन रूप दोनों में सह-तलीय  होने की शर्तें दी गई हैं।
-* AD और DH क्योंकि वे प्रिज्म के बाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
+=== सदिश रूप में रेखाओं की सह-तलीयता के लिए शर्त ===
-* AB और CD क्योंकि वे प्रिज्म के निचले चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
+यदि दो रेखाओं के सदिश समीकरण <math>\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + k \overrightarrow{p}</math> और <math>\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} + k \overrightarrow{q}</math> के रूप के हैं तो वे सहसमतलीय तभी होंगे यदि और केवल यदि <math>(\overrightarrow{b}- \overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}) = 0</math>
-* BC और FG क्योंकि वे प्रिज्म के दाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
-== यह कैसे निर्धारित करें कि दी गई 2 रेखाएँ समतलीय हैं या नहीं? ==
+=== कार्टेशियन रूप में रेखाओं की सह-तलीयता के लिए शर्त ===
-दो रेखाएँ समतलीय तब कहलाती हैं जब वे एक ही तल में मौजूद हों। यहाँ दो रेखाओं के सदिश रूप और कार्तीय रूप दोनों में समतलीय होने की शर्तें दी गई हैं।
+यदि दो रेखाओं के कार्टेशियन समीकरण  <math>\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}</math> और  <math>\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}</math>  के रूप के हैं, तो रेखाएँ सहसमतलीय होती हैं यदि और केवल यदि निर्धारक सारणिक  <math>\begin{vmatrix} x_2-x_1  & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 &b_1&c_1 \\ a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}=0</math>
-=== Condition For Coplanarity of Lines in Vector Form ===
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
-If the vector equations of two lines are of the form →r = →a + k →p and →r = →b + k →q then they are coplanar if and only if (→b−→a)⋅(→p×→q) = 0.
-=== Condition For Coplanarity of Lines in Cartesian Form ===
+* कोई भी दो बिंदु सदैव सह-तलीय  होते हैं।
-If the cartesian equations of two lines are of the form x−x1a1=y−y1b1=z−z1c1 and x−x2a2=y−y2b2=z−z2c2 then the lines are coplanar if and only if the determinant ∣∣ ∣∣x2−x1y2−y1z2−z1a1b1c1a2b2c2∣∣ ∣∣ = 0.
+* कोई भी तीन बिंदु सदैव सह-तलीय  होते हैं।
+* चार या उससे अधिक बिंदु सह-तलीय  होते हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर उपस्थित हों।
-== समतलीय पर महत्वपूर्ण नोट्स ==
+* दो या उससे अधिक रेखाएँ सह-तलीय  होती हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर उपस्थित हों।
-* कोई भी दो बिंदु हमेशा समतलीय होते हैं।
-* कोई भी तीन बिंदु हमेशा समतलीय होते हैं।
-* चार या उससे अधिक बिंदु समतलीय होते हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर मौजूद हों।
-* दो या उससे अधिक रेखाएँ समतलीय होती हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर मौजूद हों।
 [[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]