अपचयोपचय अभिक्रियाओं के प्रारूप: Difference between revisions

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==भूमिका==
किसी संख्या को उसी संख्या से गुणन करने पर, प्राप्त गुणनफल "उस संख्या का वर्ग" कहलाता है। हम किसी विशेष अंक 4, 6 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग ज्ञात करेंगे।
==4 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग<ref>"सिंघल, वंदना (2007)। वैदिक गणित सभी उम्र के लिए - एक शुरुआती गाइड। दिल्ली: मोतीलाल बनारसीदास. पृष्ठ 204-209। [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-208-3230-5|<bdi>978-81-208-3230-5</bdi>]]." (Singhal, Vandana (2007). Vedic Mathematics For All Ages - A Beginners' Guide. Delhi: Motilal Banarsidass. p. 204-209. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-208-3230-5|<bdi>978-81-208-3230-5</bdi>]].)</ref>==
4 से समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, अपनाए जाने वाले विशिष्ट नियम को नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया गया है।
===उदाहरण : 34<sup>2</sup>===
'''प्रक्रिया  1''': हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 35 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 34 के निकट है।
 
यहाँ संख्या 35 के अंत में 5 आता है, हम इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए '''''"एकाधिकेन पूर्वेण"'''''  सूत्र का प्रयोग करेंगे।
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!बाएं वाला पक्ष(LHS)
!दाएं वाला पक्ष(RHS)
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|3
|5
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|35 में 5 का पिछला अंक '''3''' है
3 से एक अधिक '''4''' है
|'''5''' का वर्ग = 25
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|'''12'''
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'''प्रक्रिया  2''' : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 34 + 35 = '''69'''
 
'''प्रक्रिया  3 ''': 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को  घटाएँ। 1225 - 69 = '''1156'''
 
'''उत्तर : 34<sup>2</sup> = 1156'''
===उदाहरण : 624<sup>2</sup>===
'''प्रक्रिया  1''' : हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 625 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 624 के निकट है।
 
यहाँ संख्या 625 के अंत में 5 आता है, हम इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए '''''"एकाधिकेन पूर्वेण"'''''  सूत्र का प्रयोग करेंगे।
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<nowiki>*</nowiki>62 X 63 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए हम ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् ('''''उर्ध्वतिर्यग्भ्याम''''') का प्रयोग करते हैं
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!बायाँ स्तंभ
!दायाँ स्तंभ
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|'''पहला अंक'''
|6
|2
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|'''दूसरा अंक'''
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|3
|}प्रक्रिया  1: दायें स्तंभ में  दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 2 X 3 = 6
 
प्रक्रिया  2: दाहिने स्तंभ के पहले अंक को बाएं स्तंभ के दूसरे अंक से और बाएं स्तंभ के पहले अंक के साथ दाएं स्तंभ के दूसरे अंक का वज्र गुणन करें। और दोनो गुणनफलों को जोड़ें। - (2 X 6) + (3 X 6) = 12 + 18 = 30
 
प्रक्रिया  3: बाएँ स्तंभ में  दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 6 X 6 = 36
 
प्रक्रिया  4 : प्रत्येक प्रक्रिया से प्राप्त उपरोक्त मानों को नीचे दी गई तालिका में रखें।
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|'''प्रक्रिया 3'''
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|'''0'''
|'''6'''
|}62 X 63 = 3906
 
'''प्रक्रिया  2''' : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 624 + 625 = '''1249'''
 
'''प्रक्रिया  3''' : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को  घटाएँ। 390625 - 1249 = '''389376'''
 
'''उत्तर : 624<sup>2</sup> = 389376'''
==6 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग==
6 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए अपनाए जाने वाले विशिष्ट नियम को नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया गया है।
===उदाहरण : 36<sup>2</sup>===
'''प्रक्रिया  1''' : हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 35 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 36 के निकट है।
 
यहाँ संख्या 35 के अंत में 5 आता है, हम इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए '''''"एकाधिकेन पूर्वेण"'''''  सूत्र का प्रयोग करेंगे।
{| class="wikitable"
!बाएं वाला पक्ष(LHS)
!दाएं वाला पक्ष(RHS)
|-
|3
|5
|-
|35 में 5 का पिछला अंक '''3''' है
3 से एक अधिक '''4''' है
|'''5''' का वर्ग = 25
|-
|3 X 4 = 12
|
|-
|'''12'''
|'''25'''
|}35<sup>2</sup> = '''1225'''
 
'''प्रक्रिया  2''' : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 36 + 35 = '''71'''
 
'''प्रक्रिया  3''' : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को जोड़ें। 1225 + 71 = '''1296'''
 
'''उत्तर : 36<sup>2</sup> = 1156'''
===उदाहरण : 246<sup>2</sup>===
'''प्रक्रिया  1''' : हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 245 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 246 के निकट है।
 
यहाँ संख्या 245 के अंत में 5 आता है, इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए हम '''''"एकाधिकेन पूर्वेण"''''' सूत्र का प्रयोग करेंगे।
{| class="wikitable"
!बाएं वाला पक्ष(LHS)
!दाएं वाला पक्ष(RHS)
|-
|24
|5
|-
|245 में 5 का अंतिम अंक '''24''' है
24 से एक से अधिक '''25''' है
|'''5''' का वर्ग = 25
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|24 X 25  = 600*
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|'''25'''
|}245<sup>2</sup> = '''60025'''
 
<nowiki>*</nowiki>24 X 25 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए हम ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् ('''''उर्ध्वतिर्यग्भ्याम''''') का प्रयोग करते हैं।
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!
!बायाँ स्तंभ
!दायाँ स्तंभ
|-
|'''पहला अंक'''
|2
|4
|-
|'''दूसरा अंक'''
|2
|5
|}प्रक्रिया 1: दाहिने स्तंभ में  दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 4 X 5 = 20
 
प्रक्रिया 2: दाहिने स्तंभ के पहले अंक को बाएं स्तंभ के दूसरे अंक से और बाएं स्तंभ के पहले अंक के साथ दाएं स्तंभ के दूसरे अंक का वज्र गुणन करें। और दोनो गुणनफलों को जोड़ें।  - (4 X 2) + (5 X 2) = 8 + 10 = 18
 
प्रक्रिया 3: बाएँ स्तंभ में  दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 2 X 2 = 4
 
प्रक्रिया 4 : प्रत्येक प्रक्रिया से प्राप्त उपरोक्त मानों को नीचे दी गई तालिका में रखें।
{| class="wikitable"
|'''प्रक्रिया 3'''
|'''प्रक्रिया 2'''
|'''प्रक्रिया 1'''
|-
|4
|18
|20
|-
|4
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|4
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|4+2
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|0
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|'''6'''
|'''0'''
|'''0'''
|}24 X 25 = 600
 
'''प्रक्रिया 2''' : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 245 + 246 = '''491'''
 
'''प्रक्रिया 3''' :5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को जोड़ें।  60025 + 491 = '''60516'''
 
'''उत्तर : 246<sup>2</sup> = 60516'''
 
== यह भी देखें ==
[[Squares of numbers ending in 4 & 6 by Bhārati Kṛṣṇa Tīrtha]]
 
==संदर्भ==
<references />
[[Category:भारती कृष्ण तीर्थ द्वारा गणित]]

Revision as of 17:48, 30 June 2023

भूमिका

किसी संख्या को उसी संख्या से गुणन करने पर, प्राप्त गुणनफल "उस संख्या का वर्ग" कहलाता है। हम किसी विशेष अंक 4, 6 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग ज्ञात करेंगे।

4 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग[1]

4 से समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, अपनाए जाने वाले विशिष्ट नियम को नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया गया है।

उदाहरण : 342

प्रक्रिया 1: हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 35 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 34 के निकट है।

यहाँ संख्या 35 के अंत में 5 आता है, हम इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए "एकाधिकेन पूर्वेण" सूत्र का प्रयोग करेंगे।

बाएं वाला पक्ष(LHS) दाएं वाला पक्ष(RHS)
3 5
35 में 5 का पिछला अंक 3 है

3 से एक अधिक 4 है

5 का वर्ग = 25
3 X 4 = 12
12 25

352 = 1225

प्रक्रिया 2 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 34 + 35 = 69

प्रक्रिया 3 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को घटाएँ। 1225 - 69 = 1156

उत्तर : 342 = 1156

उदाहरण : 6242

प्रक्रिया 1 : हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 625 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 624 के निकट है।

यहाँ संख्या 625 के अंत में 5 आता है, हम इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए "एकाधिकेन पूर्वेण" सूत्र का प्रयोग करेंगे।

बाएं वाला पक्ष(LHS) दाएं वाला पक्ष(RHS)
62 5
625 में 5 का पिछला अंक 62 है

62 से एक अधिक 63 है

5 का वर्ग = 25
62 X 63 = 3906*
3906 25

6252 = 390625

*62 X 63 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए हम ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् (उर्ध्वतिर्यग्भ्याम) का प्रयोग करते हैं

बायाँ स्तंभ दायाँ स्तंभ
पहला अंक 6 2
दूसरा अंक 6 3

प्रक्रिया 1: दायें स्तंभ में दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 2 X 3 = 6

प्रक्रिया 2: दाहिने स्तंभ के पहले अंक को बाएं स्तंभ के दूसरे अंक से और बाएं स्तंभ के पहले अंक के साथ दाएं स्तंभ के दूसरे अंक का वज्र गुणन करें। और दोनो गुणनफलों को जोड़ें। - (2 X 6) + (3 X 6) = 12 + 18 = 30

प्रक्रिया 3: बाएँ स्तंभ में दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 6 X 6 = 36

प्रक्रिया 4 : प्रत्येक प्रक्रिया से प्राप्त उपरोक्त मानों को नीचे दी गई तालिका में रखें।

प्रक्रिया 3 प्रक्रिया 2 प्रक्रिया 1
36 30 6
36 + 3 0 6
39 0 6

62 X 63 = 3906

प्रक्रिया 2 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 624 + 625 = 1249

प्रक्रिया 3 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को घटाएँ। 390625 - 1249 = 389376

उत्तर : 6242 = 389376

6 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग

6 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए अपनाए जाने वाले विशिष्ट नियम को नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया गया है।

उदाहरण : 362

प्रक्रिया 1 : हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 35 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 36 के निकट है।

यहाँ संख्या 35 के अंत में 5 आता है, हम इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए "एकाधिकेन पूर्वेण" सूत्र का प्रयोग करेंगे।

बाएं वाला पक्ष(LHS) दाएं वाला पक्ष(RHS)
3 5
35 में 5 का पिछला अंक 3 है

3 से एक अधिक 4 है

5 का वर्ग = 25
3 X 4 = 12
12 25

352 = 1225

प्रक्रिया 2 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 36 + 35 = 71

प्रक्रिया 3 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को जोड़ें। 1225 + 71 = 1296

उत्तर : 362 = 1156

उदाहरण : 2462

प्रक्रिया 1 : हम 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या का वर्ग ज्ञात करेंगे। 245 (5 से समाप्त होने वाली संख्या) 246 के निकट है।

यहाँ संख्या 245 के अंत में 5 आता है, इसका वर्ग ज्ञात करने के लिए हम "एकाधिकेन पूर्वेण" सूत्र का प्रयोग करेंगे।

बाएं वाला पक्ष(LHS) दाएं वाला पक्ष(RHS)
24 5
245 में 5 का अंतिम अंक 24 है

24 से एक से अधिक 25 है

5 का वर्ग = 25
24 X 25 = 600*
600 25

2452 = 60025

*24 X 25 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए हम ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् (उर्ध्वतिर्यग्भ्याम) का प्रयोग करते हैं।

बायाँ स्तंभ दायाँ स्तंभ
पहला अंक 2 4
दूसरा अंक 2 5

प्रक्रिया 1: दाहिने स्तंभ में दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 4 X 5 = 20

प्रक्रिया 2: दाहिने स्तंभ के पहले अंक को बाएं स्तंभ के दूसरे अंक से और बाएं स्तंभ के पहले अंक के साथ दाएं स्तंभ के दूसरे अंक का वज्र गुणन करें। और दोनो गुणनफलों को जोड़ें। - (4 X 2) + (5 X 2) = 8 + 10 = 18

प्रक्रिया 3: बाएँ स्तंभ में दोनो अंकों को लंबवत रूप से गुणा करें - 2 X 2 = 4

प्रक्रिया 4 : प्रत्येक प्रक्रिया से प्राप्त उपरोक्त मानों को नीचे दी गई तालिका में रखें।

प्रक्रिया 3 प्रक्रिया 2 प्रक्रिया 1
4 18 20
4 18+2 0
4 20 0
4+2 0 0
6 0 0

24 X 25 = 600

प्रक्रिया 2 : 5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या के साथ संख्या को जोड़ें। 245 + 246 = 491

प्रक्रिया 3 :5 से समाप्त होने वाली निकटतम संख्या(प्रक्रिया 1 में प्राप्त मान) के वर्ग से प्रक्रिया 2 में प्राप्त मान को जोड़ें। 60025 + 491 = 60516

उत्तर : 2462 = 60516

यह भी देखें

Squares of numbers ending in 4 & 6 by Bhārati Kṛṣṇa Tīrtha

संदर्भ

  1. ↑ "सिंघल, वंदना (2007)। वैदिक गणित सभी उम्र के लिए - एक शुरुआती गाइड। दिल्ली: मोतीलाल बनारसीदास. पृष्ठ 204-209। ISBN 978-81-208-3230-5." (Singhal, Vandana (2007). Vedic Mathematics For All Ages - A Beginners' Guide. Delhi: Motilal Banarsidass. p. 204-209. ISBN 978-81-208-3230-5.)
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