AP का nवाँ पद: Difference between revisions

Revision as of 21:16, 14 September 2023

आइए हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन ( arithmetic progression) अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या मतलब होता है? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं ( consecutive terms ) के बीच का सार्व अंतर (common difference) स्थिर ( constant) रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।

उदाहरण

$1,3,5,7,9,11,....$
$2,4,6,8,10,12,....$
$5,3,1,-1,-3,-5,...$
$9.25,9.35,9.45,9.55,9.65,...$

उपर्युक्त उदाहरणों में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । उपर्युक्त उदाहरणों में दो क्रमागत पदों का अंतर नियत है, अतः यह समांतर श्रेढ़ी का उदाहरण है ।

समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद

इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर $d$ को $(n-1)$ से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात a में जोड़ेंगे ।

समांतर श्रेढ़ी के n वाँ पद का सूत्र ( Formula for nth term of an AP)

$a_{n}=a+(n-1)d$

यहाँ, $a_{n}$ = $n^{th}$ पद

$a=$ पहला पद

$n=$ पदों की संख्या

$d=$ सार्व अंतर

उदाहरण 1: -

1) समान्तर श्रेढ़ी $12,18,24,30,36,...$ का $9^{th}$ पद ज्ञात कीजिये।

हल

यहाँ, पहला पद $a=12$

सार्व अंतर $d=18-12=6$

पदों की संख्या $n=9$ 9 वां पद (a₉) =?

n वाँ पद के सूत्र द्वारा, a_n = a + (n – 1)d

a₉ = 12 + (9 – 1)6

a₉ = 12 + (8)6 = 12 + 48

a₉ =60

अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 9वां पद 60 है।

उदाहरण 2 :-

समान्तर श्रेढ़ी 8, 12, 16 ……… .. का कौन सा पद 400 है?

हल –

प्रथम पद (a) = 4,

सार्व अंतर (d) = 12- 8 = 4

n वाँ पद (an) = 400, पदों की संख्या (n) =?

सूत्र , an = a + (n – 1)d

400= 8 + (n – 1)4

400 – 8 = 4n – 4

392 = 4n – 4

392 + 4 = 4n

4n = 396

n = 396/4

n = 99

अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल 99 पद हैं ।

अभ्यास प्रश्न:-

1. समांतर श्रेढ़ी 2, 7 ,12 ...... का दसवां पद क्या होगा?

2. समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15 .......का कौन सा पद - 87 होगा?

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 [[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-इस इकाई को शुरू करने के पूर्व आइए हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन ( '''arithmetic progression''') अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या मतलब होता है?
+आइए हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन ( '''arithmetic progression''') अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या मतलब होता है? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें  दो क्रमागत संख्याओं ( consecutive terms ) के बीच का सार्व अंतर (common difference) स्थिर ( constant) रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम '''समांतर श्रेढ़ी'''  कहते हैं ।
-=== परिभाषा ===
+=== उदाहरण ===
-संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें  दो क्रमागत संख्याओं ( consecutive terms) के बीच का सार्व अंतर (common difference) स्थिर  ( constant) रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम '''समांतर श्रेढ़ी'''  कहते हैं ।
-=== उदाहरण – ===
+# <math>1 ,3, 5, 7 ,9, 11, ....</math>
-.    1 ,3, 5, 7 ,9, 11  …….
+# <math>2, 4, 6, 8, 10, 12,....</math>
+# <math>5, 3, 1, -1, -3, -5,...</math>
+# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math>
-.    2, 4, 6, 8, 10, 12 …….
+उपर्युक्त उदाहरणों में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । उपर्युक्त उदाहरणों में दो क्रमागत पदों का अंतर नियत है, अतः यह  समांतर श्रेढ़ी  का उदाहरण है ।
-.    5, 3, 1, -1, -3, -5 ……..
+== समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद ==
+इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर <math>d</math>  को <math>(n-1)</math> से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात a में जोड़ेंगे  ।
-.   9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65…….
-उपर्युक्त उदाहरणों में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है। उपर्युक्त उदाहरणों में दो क्रमागत पदों का अंतर नियत (constant)  है ,अतः यह  समांतर श्रेढ़ी  का उदाहरण है।
-== समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (nth Term of Arithmetic Progression) - ==
-इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर d  अर्थात ( common difference) को (n – 1) से गुणा करेंगे और फिर पहले पद  अर्थात a( first term) में जोड़ेंगे  ।
 === समांतर श्रेढ़ी के n वाँ पद  का सूत्र ( Formula for nth term of an AP) ===
-a<sub>n</sub> = a + (n – 1)d
+<math>a_n=a+(n-1)d</math>
-यहाँ, a<sub>n</sub> = n वाँ पद
+यहाँ, <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद
-a = पहला पद अर्थात first term.
+<math>a =</math> पहला पद
-n = पदों की संख्या अर्थात number of terms.
+<math>n=</math> पदों की संख्या
-d = सार्व अंतर अर्थात common difference.
+<math>d =</math> सार्व अंतर
 === उदाहरण 1: - ===
+) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का  <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये।
+हल
-==== 1) समान्तर श्रेढ़ी 12, 18, 24, 30, 36 ………… .. का 9 वां पद ज्ञात कीजिये। ====
+यहाँ, पहला पद <math>a = 12</math>
-हल –  यहाँ, पहला पद (a)  first term = 12,
-सार्व अंतर (d) common difference = 18-12 = 6
+सार्व अंतर <math>d=18-12=6</math>
-पदों की संख्या (n) = 9,     9 वां पद (a<sub>9</sub>) =?
+पदों की संख्या  <math>n= 9</math>    9 वां पद (a<sub>9</sub>) =?
 n वाँ पद के सूत्र द्वारा,   a<sub>n</sub> = a + (n – 1)d
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 हल –
-प्रथम पद (a) first term = 4,
+प्रथम पद (a)  = 4,
-सार्व अंतर (d) common difference = 12- 8 = 4
+सार्व अंतर (d)  = 12- 8 = 4
 n वाँ पद (an) = 400, पदों की संख्या (n) =?