AP का nवाँ पद

आइए , हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन (AP) अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या अभिप्राय होता है ? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है , ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।

उदाहरण

1. $1,3,5,7,9,11,....$
2. $2,4,6,8,10,12,....$
3. $5,3,1,-1,-3,-5,...$
4. $9.25,9.35,9.45,9.55,9.65,...$

उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयो का उदाहरण है ।

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।

$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,a+6d,.....$

जहां $a$ प्रथम पद तथा $d$ सार्व अंतर है ।

समांतर श्रेढ़ी के $n^{th}$ पद का सूत्र

मान लीजिए $a_{1},a_{2},a_{3},....$ एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद $a$ तथा सार्व अंतर $d$ है ।

तब , दूसरा पद $a_{2}=a+d$

$a_{2}=a+(2-1)d$

तीसरा पद $a_{3}=a_{2}+d$

$a_{3}=(a+d)+d$

$a_{3}=a+(3-1)d$

इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,

$n^{th}$ पद $a_{n}=a+(n-1)d$

यहाँ , $a_{n}$ = $n^{th}$ पद

$a=$ पहला पद

$n=$ पदों की संख्या

$d=$ सार्व अंतर

उदाहरण 1

1) समान्तर श्रेढ़ी $12,18,24,30,36,...$ का $9^{th}$ पद ज्ञात कीजिये।

हल

पहला पद $a=12$

सार्व अंतर $d=18-12=6$

पदों की संख्या  $n=9$    

$9^{th}$ पद $a_{9}$ $=?$

$n^{th}$ पद के सूत्र द्वारा ,   $a_{n}=a+(n-1)d$

मान रखने पर ,

$a_{9}=12+(9-1)6$

$a_{9}=12+(8)6$

$a_{9}=12+48$

अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का $9^{th}$ पद $60$ है।                                

उदाहरण 2

समान्तर श्रेढ़ी $8,12,16,...$ का कौन सा पद $400$ है?

हल

प्रथम पद $a=8$

सार्व अंतर $d=12-8=4$

$n^{th}$ पद $a_{n}=400$

पदों की संख्या $n=?$

सूत्र ,  $a_{n}=a+(n-1)d$

मान रखने पर ,

$400=8+(n-1)4$

$400-8=4n-4$

$392=4n-4$

$392+4=4n$

$4n=396$

$n={\frac {396}{4}}$

$n=99$

अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल $99$ पद हैं ।

अभ्यास प्रश्न

1. समांतर श्रेढ़ी $2,7,12,...$ का दसवां पद क्या होगा ?
2. समांतर श्रेढ़ी $21,18,15,...$ का कौन सा पद $-87$ होगा ?
3. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं ?
4. $n$ के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयो $63,65,67,..$ और $3,10,17,...$ के $n^{th}$ पद बराबर हैं ?