समांतर माध्य: Difference between revisions

Revision as of 12:39, 16 September 2023

संख्याओं के समूह के औसत को समांतर माध्य कहा जाता है । समांतर माध्य एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी आंकड़ों के समूह के तत्वों के योग को आंकड़ों के समूह में मानों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण

यदि किसी परिवार में दो व्यक्ति हैं, जिनमें से पहले व्यक्ति की आय $10000$ है तथा दूसरे व्यक्ति की आय $4000$ है ,तो उनका औसत वेतनमान क्या होगा ?

इस औसत को 10,000 और 40,00 का समांतर माध्य भी कहा जाता है, जिसकी गणना इन दोनों वेतनों को जोड़कर और फिर 2 से विभाजित करके की जाती है।

औसत वेतन (वेतन का समांतर माध्य) $={\frac {(10000+4000)}{2}}$

$=7000$

अतः हमें पता चला कि उस परिवार का औसत वेतनमान $7000$ है । इस प्रकार, समांतर माध्य का उपयोग विभिन्न परिदृश्यों में किया जाता है, जैसे कि छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा आदि ।

समांतर माध्य का सूत्र

माध्य = (अवलोकनों का योग)/(अवलोकनों की संख्या)

यदि आंकड़ों के समूह में $n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}.....n_{n}$ अंक है ,तो इसका समांतर माध्य होगा ,

समांतर माध्य $={\frac {n_{1}+n_{2}+n_{3}+.....n_{n}}{n}}$

यदि उन अंकों की बारंबारताएं क्रमशः $f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}.....f_{n}$ है तो ,समांतर माध्य होगा ,

समांतर माध्य $={\frac {f_{1}n_{1}+f_{2}n_{2}+f_{3}n_{3}.......+f_{n}n_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+.....f_{n}}}$

समांतर माध्य माध्य के गुण

यदि आंकड़ों के समूह में सभी मान समान हैं , तो आंकड़ों के समूह का समांतर माध्य आंकड़ों के समूह का व्यक्तिगत मान होगा ,अर्थात यदि अवलोकन के मान $p,p,p,p,p,....p$ पदों तक हैं तो समांतर माध्य $p$ होता है ।
समांतर माध्य से अवलोकनों के एक समूह में सभी मानों के विचलन का योग शून्य होता है ।
यदि हम आंकड़ों के समूह के सभी मानों को एक निश्चित मान से बढ़ाते या घटाते हैं, तो समांतर माध्य में उसी मान से वृद्धि या कमी होती है ।
यदि हम आंकड़ों के समूह के सभी मानों को एक निश्चित मान से गुणा या भाग करते हैं, तो समांतर माध्य में उसी मान से गुणा या भाग होता है ।

उदाहरण 1

प्रथम $5$ सम संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए ?

हल

प्रथम 5 सम संख्या $=0,2,4,6,8$

सूत्र , माध्य = (अवलोकनों का योग)/(अवलोकनों की संख्या)

$={\frac {0+2+4+6+8}{5}}$

$={\frac {20}{5}}$

$=4$

अतः , प्रथम $5$ सम संख्याओं का समांतर माध्य $4$ है ।

उदाहरण 2

यदि 10 अवलोकनों $6,12,14,15,x,9,11,6,2,8$ का समांतर माध्य $17$ है, लुप्त अवलोकन ज्ञात कीजिए ।

हल

दिए गए, 10 अवलोकन हैं $6,12,14,15,x,9,11,6,2,8$

समांतर माध्य $=17$

सूत्र , माध्य = अवलोकनों का योग/ अवलोकनों की कुल संख्या

$17={\frac {6+12+14+15+x+9+11+6+2+8}{10}}$

$83+x=17\times 10$

$83+x=170$

$x=170-83$

$x=87$

अतः , लुप्त अवलोकन $87$ है ।

अभ्यास प्रश्न

$14$ संख्याओं का समांतर माध्य $7$ है। यदि प्रत्येक संख्या में $5$ जोड़ दिया जाए तो नया समांतर माध्य क्या होगा ?
पहली पाँच संख्याओं का समांतर माध्य $28$ है। जब एक संख्या हटा दी जाती है , तो माध्य $3$ कम हो जाता है। वह संख्या बताइए जो शामिल नहीं है ?

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 [[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]]
-समांतर माध्य शुरू करने के पूर्व  आइए हम जानते हैं कि केंद्रीय प्रवृत्ति की माप से क्या तात्पर्य है ?
+संख्याओं के समूह के औसत को समांतर माध्य कहा जाता है । समांतर माध्य एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी आंकड़ों के समूह के तत्वों के योग को  आंकड़ों के समूह में मानों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
-=== केंद्रीय प्रवृत्ति की माप ===
+=== उदाहरण ===
-किसी आंकड़ों के समूह अर्थात data set का वह अंक value जो कि उसके मध्य में स्थित होता है , तथा पूर्ण आंकड़ों data set  की लक्षणों का प्रतिनिधित्व ( representation) करता है उसे हम केंद्रीय प्रवृत्ति की माप कहते हैं, सरल शब्दों में समझे तो इस केंद्रीय प्रवृत्ति की माप (central tendency) से हमें आंकड़ों के समूह का पूर्ण ज्ञान हो जाता है | केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आंकड़ों को संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की संख्यात्मक  ( mathematical)  विधि है।
+यदि किसी परिवार में दो व्यक्ति हैं, जिनमें से पहले व्यक्ति की आय <math>10000</math>  है तथा दूसरे व्यक्ति की आय <math>4000</math>  है ,तो उनका औसत वेतनमान क्या होगा ?
-केंद्रीय प्रवृत्ति की माप मुख्ता तीन प्रकार की होती है- 1. समांतर माध्य
+इस औसत को 10,000  और 40,00  का समांतर माध्य भी कहा जाता है, जिसकी गणना इन दोनों वेतनों को जोड़कर और फिर 2 से विभाजित करके की जाती है।
-. माध्यिका
+औसत वेतन (वेतन का समांतर माध्य)   <math>= \frac{(10000+4000)}{2}</math>
-.  बहुलक
-आई अब हम जानते हैं समांतर माध्य के बारे में |
-== समांतर माध्य ==
-अंकगणितीय माध्य एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी   आंकड़ों के समूह के तत्वों के योग  ( sum of values of data) को  आंकड़ों के समूह में मानों की संख्या ( number of values) से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। अंकगणितीय माध्य को आमतौर पर औसत के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए संख्याओं के समूह के औसत को अंकगणितीय माध्य कहा जाता है, या बस, दी गई संख्याओं का माध्य कहा जाता है।
-=== <u>समांतर माध्य का उपयोग</u> ===
-इसे हम कुछ उदाहरणों से समझ सकते हैं, यदि किसी परिवार  में दो व्यक्ति हैं, जिसमें से पहले व्यक्ति ₹10000 कमाता है तथा दूसरा व्यक्ति ₹4000 कमाता है ,तो उनका औसत वेतनमान क्या होगा ?
-इस औसत को 10,000 रुपये और 40,00 रुपये का  माध्य भी कहा जाता है, जिसकी गणना इन दोनों वेतनों को जोड़कर और फिर 2 से विभाजित करके की जाती है। औसत वेतन (वेतन का  माध्य) = (10000 + 4000)/2=₹7000.
-<math>= \frac{(10000+4000)}{2}</math>
 <math>= 7000</math>
-अतः हमें पता चला कि उस परिवार का औसत वेतनमान ₹7000 है । इस प्रकार, अंकगणितीय माध्य का उपयोग विभिन्न परिदृश्यों में किया जाता है, जैसे कि छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा आदि का पता आसानी से पता  कर सकते हैं ।
+अतः हमें पता चला कि उस परिवार का औसत वेतनमान <math>7000</math> है । इस प्रकार, समांतर माध्य का उपयोग विभिन्न परिदृश्यों में किया जाता है, जैसे कि छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा आदि ।
-=== <u>समांतर माध्य का सूत्र</u> ===
+== समांतर माध्य का सूत्र ==
 माध्य = (अवलोकनों का योग)/(अवलोकनों की संख्या)
-यदि आंकड़ों के समूह में n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>,n<sub>3</sub>,n<sub>4</sub> .....  n<sub>n</sub>  अंक है ,तो इसका समांतर माध्य होगा-
+यदि आंकड़ों के समूह में  <math>n_1,n_2,n_3,n_4 ..... n_n</math>  अंक है ,तो इसका समांतर माध्य होगा ,
-समांतर माध्य= n<sub>1</sub> + n<sub>2 +</sub>n<sub>3 +</sub>n<sub>4+ ....... +</sub> n<sub>n / n</sub>
+समांतर माध्य <math>= \frac{n_1+n_2+n_3+.....n_n}{n}</math>
-यदि उन अंकों की बारंबारताएं क्रमशः f<sub>1</sub>,f<sub>2</sub>,f<sub>3</sub>,f<sub>4</sub> ..... f<sub>n</sub> है तो ,समांतर माध्य होगा -
+यदि उन अंकों की बारंबारताएं क्रमशः <math>f_1,f_2,f_3,f_4 ..... f_n</math>  है तो ,समांतर माध्य होगा ,
-समांतर माध्य= f<sub>1</sub>n<sub>1</sub>+f<sub>2</sub>n<sub>2</sub>+ f<sub>3</sub>n<sub>3</sub>+f<sub>4</sub>n<sub>4</sub>+ ...... + f<sub>n</sub>n<sub>n</sub> / f<sub>1</sub> +f<sub>2</sub> +f<sub>3</sub> +f<sub>4+ ........</sub> f<sub>n</sub>
+समांतर माध्य  <math>=\frac{f_1n_1+f_2n_2+f_3n_3.......+f_nn_n}{f_1+f_2+f_3+.....f_n}</math>
+== समांतर माध्य माध्य के गुण ==
-<math>=f_1n_1+f_2n_2+f_3n_3.......+f_nn_n</math>
+# यदि  आंकड़ों के समूह में सभी मान समान हैं , तो आंकड़ों के समूह का समांतर माध्य आंकड़ों के समूह का व्यक्तिगत मान होगा ,अर्थात यदि अवलोकन के मान  <math>p,p,p,p,p,....p</math> पदों तक हैं तो समांतर माध्य <math>p</math> होता है ।
+# समांतर माध्य से अवलोकनों के एक समूह में सभी मानों के विचलन का योग शून्य होता है ।
+# यदि हम आंकड़ों के समूह के सभी मानों को एक निश्चित मान से बढ़ाते या घटाते हैं, तो समांतर माध्य में उसी मान से वृद्धि या कमी होती है ।
+# यदि हम आंकड़ों के समूह के सभी मानों को एक निश्चित मान से गुणा या भाग करते हैं, तो समांतर माध्य में उसी मान से गुणा या भाग होता है ।
-<math>=f_1 \times n_1 +f_2n_2+f_3n_3.......+f_nn_n</math>
+=== उदाहरण 1 ===
-== समांतर माध्य माध्य के गुण ==
+प्रथम <math>5</math> सम संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए ?
-.यदि  आंकड़ों के समूह  में सभी मान समान हैं तो  आंकड़ों के समूह का अंकगणितीय माध्य आंकड़ों के समूह  का व्यक्तिगत  मान  है, अर्थात यदि अवलोकन के मान p, p, p,…, p ; n पदों तक हैं तो अंकगणितीय माध्य p होता है।
-. अंकगणितीय माध्य से अवलोकनों के एक समूह  में सभी मानों के विचलन का योग शून्य है।
+हल
-.यदि हम  आंकड़ों के समूह  के सभी मानों को एक निश्चित मान से बढ़ाते या घटाते हैं, तो  अंकगणितीय माध्य में उसी मान से वृद्धि या कमी होती है।
+प्रथम 5 सम संख्या <math>= 0,2,4,6,8</math>
-. यदि हम  आंकड़ों के समूह  के सभी मानों को एक निश्चित मान से गुणा या भाग करते हैं, तो अंकगणितीय माध्य   में उसी मान से गुणा या भाग हो जाता है।
+सूत्र ,   माध्य = (अवलोकनों का योग)/(अवलोकनों की संख्या)
-== समांतर माध्य  के उदाहरण: ==
+<math>=\frac{0+2+4+6+8}{5}</math>
-=== उदाहरण 1. ===
+<math>=\frac{20}{5}
-. प्रथम 5 सम संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए ?
-प्रथम 5 सम संख्या= 0,2,4,6,8
+</math>
-माध्य = (अवलोकनों का योग)/(अवलोकनों की संख्या)
+<math>=4</math>
-= 0+2+4+6+8/5
+अतः , प्रथम <math>5</math> सम संख्याओं का समांतर माध्य <math>4</math>  है ।
-= 20/5
+=== उदाहरण 2 ===
+यदि 10 अवलोकनों  <math>6, 12, 14, 15, x, 9, 11, 6, 2, 8</math>  का समांतर माध्य <math>17</math> है, लुप्त अवलोकन ज्ञात कीजिए ।
-=4
+हल
-प्रथम 5 सम संख्याओं का माध्य 4  है।
+दिए गए, 10 अवलोकन हैं  <math>6, 12, 14, 15, x, 9, 11, 6, 2, 8</math>
-=== उदाहरण 2. ===
+समांतर माध्य <math>=17</math>
-यदि 10 अवलोकनों ; 6, 12, 14, 15, x, 9, 11, 6, 2, 8 का अंकगणित माध्य 17 है। लुप्त अवलोकन ज्ञात कीजिए।
-दिए गए, 10 अवलोकन हैं: 6,12,14,15,x,9,11,6,2,8
+सूत्र ,   माध्य = अवलोकनों का योग/ अवलोकनों की कुल संख्या
-समांतर माध्य = 17
+<math>17=\frac{6+ 12+ 14+ 15+ x+ 9+ 11+ 6+ 2+ 8}{10}</math>
-हम वह जानते हैं,    माध्य = अवलोकनों का योग/ अवलोकनों की कुल संख्या
+<math>83+x=17\times10</math>
-= (78 + x)/10
+<math>83+x=170</math>
-x 10 = 78 + x
+<math>x=170-83</math>
-+ x = 170
+<math>x=87</math>
-x = 170 - 78
+अतः , लुप्त अवलोकन <math>87</math> है ।
-x = 92
+== अभ्यास प्रश्न ==
-इसलिए, लुप्त अवलोकन 92 है।
+# <math>14</math> संख्याओं का समांतर माध्य <math>7</math> है। यदि प्रत्येक संख्या में <math>5</math> जोड़ दिया जाए तो नया समांतर माध्य क्या होगा ?
+# पहली पाँच संख्याओं का समांतर माध्य <math>28</math> है। जब एक संख्या हटा दी जाती है , तो माध्य <math>3</math> कम हो जाता है। वह संख्या बताइए जो शामिल नहीं है  ?
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]