द्विघात समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 10:58, 26 September 2023

ऐसी समीकरण जिन्हें हम $ax^{2}+bx+c=0$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं $a\neq 0$ , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , $p(x)=0$ के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ $p(x)$ द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

द्विघात समीकरण का मानक रूप

जब हम $p(x)$ ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

मानक रूप : $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ [ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं ]

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं :

$4x^{2}-5x+2=0$
$x^{2}+10x-1=0$
$3x^{2}-4x+2=0$
$9x^{2}-18x+27=0$

उदाहरण 2

एक आयत का क्षेत्रफल $545$ है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

हल

मान लीजिए , आयत की चौड़ाई $=x$

उपर्युक्त कथन के अनुसार ,

आयत की लंबाई $=2x+1$

आयत का क्षेत्रफल $=545$

हम जानते हैं कि , आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई

मान रखने पर ,

$545=(x+1)\times x$

$x^{2}+x=545$

$x^{2}+x-545=0$

अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण $x^{2}+x-545=0$ है ।

उदाहरण 3

स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?

1) $(x-2)^{2}+1=2x-3$

2) $x(4x+8)=x^{2}+4$

3) $(x+2)^{3}=x^{3}-6$

हल

1) $(x-2)^{2}+1=2x-3$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,

${x^{2}+(2)^{2}-2\times x\times 4}+1=2x-3$ $[(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab]$

$(x^{2}+4-4x)+1=2x-3$

$x^{2}-4x+5=2x-3$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}-4x-2x+5+3=0$

$x^{2}-6x+8=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

2) $x(4x+8)=x^{2}+4$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$4x^{2}+8x=x^{2}+4$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$4x^{2}-x^{2}+8x-4=0$

$3x^{2}+8x-4=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

3) $(x+2)^{3}=x^{3}-6$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{3}+(2)^{3}+3\times x\times 2(x+2)=x^{3}-6$ $[(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)]$

$x^{3}+8+6x(x+2)=x^{3}-6$

$x^{3}+8+6x^{2}+12x=x^{3}-6$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{3}-x^{3}+6x^{2}+12x+8+6=0$

$6x^{2}+12x+14=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

अभ्यास प्रश्न

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $400$ है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
रोहन की माँ उससे $40$ वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से $4$ वर्ष बाद $410$ होगा । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

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 [[Category:द्विघात समीकरण]]
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> ,  उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं सरल शब्दों में कहे तो , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है
+ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।
 === द्विघात समीकरण का मानक रूप ===
-जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है
+जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।
 मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math>       [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]
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 स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?
-. <math>(x-2)^2+1=2x-3</math>                               2.  <math>x(4x+8)=x^2+4</math>                     3.  <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
+)  <math>(x-2)^2+1=2x-3</math>
+)  <math>x(4x+8)=x^2+4</math>
+)  <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
 हल
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 उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,
-<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math>
+<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math>                                   <math>[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]</math>
 <math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>
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 उपर्युक्त समीकरण  द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math>  प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
-) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
+)  <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
 उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
-<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math>
+<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math>                   <math>[(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)]</math>
 <math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math>
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 <math>6x^2+12x+14=0</math>
 उपर्युक्त समीकरण  द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math>  प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
+# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> होगा ।  इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।