पूर्णांक

पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक मानों का संग्रह हैं । पूर्णांकों में भिन्न संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं अर्थात उन्हें ${\frac {a}{b}}$ रूप में नहीं लिखा जा सकता है । पूर्णांकों की सीमा ऋणात्मक सिरे पर $\infty$ से लेकर धनात्मक सिरे पर $\infty$ तक होती है, जिसमें शून्य $(0)$ भी शामिल है। पूर्णांकों को प्रतीक $Z$ द्वारा दर्शाया जाता है ।

उदाहरण : $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$ आदि सभी पूर्णांकों के उदाहरण हैं ।

पूर्णांकों के प्रकार

पूर्णांकों को तीन प्रकार में विभाजित किया जा सकता है । पूर्णांकों के ये तीन प्रकार हैं: धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक तथा शून्य ।

1. धनात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं , जो धनात्मक हैं , धनात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । एक पूर्णांक संख्यां जिसके आगे कोई चिन्ह (धनात्मक या ऋणात्मक) नहीं लगा हो, धनात्मक पूर्णांक हैं। उदाहरण : $1,2,3,4,5,6,....$ आदि सभी धनात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
2. ऋणात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं जिनके पूर्व ऋणात्मक चिन्ह लगा हो , ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । उदाहरण : $-1,-2,-3,-4,-5,-6,....$ आदि ऋणात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
3. शून्य $(0)$ : शून्य एक पूर्णांक है, परंतु शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक होता है ।

पूर्णांकों के गुण

पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;

1. समापन संपत्ति
2. क्रमचयी संपत्ति
3. साहचर्य संपत्ति
4. वितरणात्मक संपत्ति
5. पहचान संपत्ति

समापन संपत्ति

जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि $p$ और $q$ कोई दो पूर्णांक हैं, तो $p+q$ और $p-q$ भी एक पूर्णांक होंगे ।

उदाहरण

$7+3=10$ जो एक पूर्णांक है ।

$8-2=6$ जो एक पूर्णांक है ।

गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि $p$ और $q$ कोई दो पूर्णांक हैं, तो $p\times q$ भी एक पूर्णांक होगा ।

उदाहरण

$17\times 3=51$ जो एक पूर्णांक है ।

पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों $p$ और $q$ का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।

उदाहरण

${\frac {-18}{-2}}=9$ जो एक पूर्णांक है ।

${\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}$ जो एक पूर्णांक नहीं है ।

क्रमचयी संपत्ति

यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए, तो भी दो पूर्णांकों का योग या गुणनफल वही रहता है । लेकिन यह पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के लिए मान्य नहीं है ।

जोड़ की क्रमचयी संपत्ति $a+b=b+a$

उदाहरण

$14+15=15+14$

$29=29$

गुणन की क्रमचयी संपत्ति $a\times b=b\times a$

उदाहरण

$4\times 2=2\times 4$

$8=8$

वितरणात्मक संपत्ति

पूर्णांकों के लिए वितरणात्मक गुण दो प्रकार के होते हैं , जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक नियम ।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम: $a(b+c)=ab+ac$

उदाहरण

$2(3+4)$ $=2\times 3+2\times 4$

$2\times 7=6+8$

$14=14$

घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम: $a(b-c)=ab-ac$

उदाहरण

$3(8-6)=3\times 8-3\times 6$

$3\times 2=24-18$

$6=6$

साहचर्य संपत्ति

पूर्णांकों को जोड़ते और गुणा करते समय , साहचर्य स्थिति सत्य होती है । हम जोड़ और गुणा के लिए साहचर्य नियम लागू कर सकते हैं लेकिन यह घटाव और विभाजन के लिए लागू नहीं होता है ।

जोड़ का साहचर्य गुण: $a+(b+c)=(a+b)+c$

उदाहरण

$1+(4+3)=(1+4)+3$

$1+7=5+3$

$8=8$

गुणन का साहचर्य गुण: $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

उदाहरण

$3\times (8\times 2)=(3\times 8)\times 2$

$3\times 16=24\times 2$

$48=48$

पहचान संपत्ति

जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक $p$ के लिए , $p+0=p$ होगा ।

उदाहरण

$999+0=999$

पूर्णांकों के लिए गुणक पहचान गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या $1$ से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , $1$ को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक $p$ के लिए $p\times 1=p$ होगा ।

उदाहरण

$23\times 1=23$

यदि किसी पूर्णांक को $0$ से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक $p$ के लिए $p\times 0=0$ होगा ।

उदाहरण

$10\times 0=0$

यदि किसी पूर्णांक को $-1$ से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा किसी पूर्णांक $p$ के लिए $p\times (-1)=-p$ होगा ।

उदाहरण

$11\times (-1)=-11$