यूक्लिड: Difference between revisions

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यूक्लिड को इतिहास में महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है । उन्हें हम ज्यामिति के पिता के रूप में भी जानते हैं । उनके द्वारा प्रतिपादित ज्यामिति को हम यूक्लिडियन ज्यामिति कहते हैं । उन्हें मुख्य रूप से एलिमेंट्स ग्रंथ के लिए जाना जाता है, जिसने ज्यामिति की नींव स्थापित की , यूक्लिड के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है, और अधिकांश जानकारी कई सदियों बाद अलेक्जेंड्रिया के दार्शनिक प्रोक्लस से मिलती है। आम तौर पर यह माना जाता है कि उन्होंने अपना करियर टॉलेमी प्रथम के अधीन अलेक्जेंड्रिया में बिताया और लगभग 300 ईसा पूर्व, प्लेटो के बाद और आर्किमिडीज़ से पहले जीवित रहे। कुछ अटकलें हैं कि यूक्लिड प्लैटोनिक अकादमी का छात्र था और बाद में संग्रहालय में पढ़ाया जाता था। यूक्लिड को अक्सर एथेंस में पहले की प्लेटोनिक परंपरा को अलेक्जेंड्रिया की बाद की परंपरा के साथ जोड़ने वाला माना जाता है।

यूक्लिड के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

लगभग 300 बी में यूक्लिड ने उसे समय तक ज्ञात गणित को क्षेत्र के संपूर्ण ज्ञान को एकत्रित किया तथा उसे एलिमेंट्स नामक अपनी प्रसिद्ध कृति के रूप में व्यवस्थित किया यूक्लिड ने कुछ गुणो को बिना सिद्ध किए सत्य मान लिया वह सत्य मान ली गई कल्पनाएँ वास्तव में सर्वव्यापी सत्य हैं उन्हें दो वर्गों में बांटा गया है अभिगृहीत और अभिधारणाएँ आइए हम अधिग्रहित और अभिधारणाओं के बारे में विस्तार पूर्वक जानते है

यूक्लिड के अभिगृहीत

वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हो परस्पर बराबर होती है ।
यदि समान वस्तु को समान वस्तु में जोड़ा जाए तो पूर्ण भी बराबर होते हैं ।
यदि समान वस्तु को समान से ही घटाया जाए तो शेषफल भी समान होते हैं।
वह वस्तुएं जो परस्पर संपाती हो परस्पर बराबर भी होती हैं ।
पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
वह वस्तु जो एक ही वस्तु की दोगुनी हो परस्पर बराबर होती हैं ।
वह वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हो परस्पर बराबर होती है।

यूक्लिड के अभिधारणाएँ

एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सरल रेखा खींची जा सकती है
एक रेखाखंड को अनिश्चित रूप से विस्तृत किया जा सकता है
किसी केंद्र और किसी त्रिज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है
सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं
यदि एक सीधी रेखा को दो सीधी रेखाओं पर गिराकर आपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि उन दोनों कोणो का योग मिलकर दो समकोण से कम हो तो वह दोनों सीधी रेखा अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर उसी ओर मिलती है जिस ओर यह योग दो समकोण से कम होता है

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 यूक्लिड को इतिहास में महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है । उन्हें  हम ज्यामिति के पिता के रूप में भी जानते हैं । उनके द्वारा प्रतिपादित ज्यामिति को हम यूक्लिडियन ज्यामिति कहते हैं । उन्हें मुख्य रूप से एलिमेंट्स ग्रंथ के लिए जाना जाता है, जिसने ज्यामिति की नींव स्थापित की , यूक्लिड के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है, और अधिकांश जानकारी कई सदियों बाद अलेक्जेंड्रिया के दार्शनिक प्रोक्लस  से मिलती है। आम तौर पर यह माना जाता है कि उन्होंने अपना करियर टॉलेमी प्रथम के अधीन अलेक्जेंड्रिया में बिताया और लगभग 300 ईसा पूर्व, प्लेटो के बाद और आर्किमिडीज़ से पहले जीवित रहे। कुछ अटकलें हैं कि यूक्लिड प्लैटोनिक अकादमी का छात्र था और बाद में संग्रहालय में पढ़ाया जाता था। यूक्लिड को अक्सर एथेंस में पहले की प्लेटोनिक परंपरा को अलेक्जेंड्रिया की बाद की परंपरा के साथ जोड़ने वाला माना जाता है।
-== यूक्लिड की परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ==
+== यूक्लिड के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ==
-यूक्लिड के समकालीन यूनानी गणितज्ञों ने ज्यामिति को एक अमूर्त मॉडल के रूप में माना था ।  किसी ठोस का आकार, माप एंव स्थिति होती है और उसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जा सकता है। इसका सीमाओं को सतह कहा जाता है। वे अंतरिक्ष के एक हिस्से को दूसरे से अलग करते हैं, और कहा जाता है कि इसकी कोई मोटाई नहीं है। सतहों की सीमाएँ वक्र हैं या सीधे पंक्तियां। ये पंक्तियाँ बिन्दुओं में समाप्त होती हैं। ठोस से बिंदु (ठोस-सतह-रेखा-बिंदु) तक के तीन चरणों पर विचार करें। में प्रत्येक चरण में हम एक एक्सटेंशन खो देते हैं, जिसे आयाम भी कहा जाता है। तो, एक ठोस में तीन होते हैं आयाम, एक सतह में दो होते हैं, एक रेखा में एक होता है और एक बिंदु में कोई नहीं होता है। यूक्लिड ने संक्षेप में बताया ये कथन परिभाषा के रूप में हैं। उन्होंने 23 परिभाषाओं को सूचीबद्ध करके अपनी व्याख्या शुरू की 'तत्व' की पुस्तक 1. उनमें से कुछ नीचे दिए गए हैं: 1. बिन्दु वह है जिसका कोई भाग नहीं है। 2. एक रेखा चौड़ाई रहित लंबाई होती है। 3. एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं। 4. सीधी रेखा वह रेखा होती है जो अपने ऊपर स्थित बिंदुओं पर समान रूप से स्थित होती है। 5. सतह वह है जिसमें केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। 6. सतह के किनारे रेखाएँ हैं। 7. समतल सतह वह सतह होती है जो अपने ऊपर सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
+लगभग 300 बी में यूक्लिड ने उसे समय तक ज्ञात गणित को क्षेत्र के संपूर्ण ज्ञान को एकत्रित किया तथा उसे एलिमेंट्स नामक अपनी प्रसिद्ध कृति के रूप में व्यवस्थित किया यूक्लिड ने कुछ गुणो को बिना सिद्ध किए सत्य मान लिया वह सत्य मान ली गई कल्पनाएँ वास्तव में  सर्वव्यापी सत्य हैं उन्हें दो वर्गों में बांटा गया है अभिगृहीत और अभिधारणाएँ आइए हम अधिग्रहित और अभिधारणाओं के बारे में विस्तार पूर्वक जानते है
+=== यूक्लिड के अभिगृहीत ===
+# वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हो परस्पर बराबर होती है ।
+# यदि समान वस्तु को समान वस्तु में जोड़ा जाए तो पूर्ण भी बराबर होते हैं ।
+# यदि समान वस्तु को समान से ही घटाया जाए तो शेषफल भी समान होते हैं।
+# वह वस्तुएं जो परस्पर संपाती हो परस्पर बराबर भी होती हैं ।
+# पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
+# वह वस्तु  जो एक ही वस्तु की दोगुनी हो परस्पर बराबर होती हैं ।
+# वह वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हो परस्पर बराबर होती है।
+=== यूक्लिड के  अभिधारणाएँ ===
+# एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सरल रेखा खींची जा सकती है
+# एक रेखाखंड को अनिश्चित रूप से विस्तृत किया जा सकता है
+# किसी केंद्र और किसी त्रिज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है
+# सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं
+# यदि एक सीधी रेखा को दो सीधी रेखाओं पर गिराकर आपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि उन दोनों कोणो का योग मिलकर दो समकोण से कम हो तो वह दोनों सीधी रेखा अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर उसी ओर मिलती है जिस ओर यह योग दो समकोण से कम होता है