व्युत्क्रमणीय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक $n\times n$ वर्ग आव्यूह को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि आव्यूह और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल तत्समक आव्यूह है।

परिभाषा

आयाम $n\times n$ के एक आव्यूह $A$ को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि और केवल तभी जब उसी आयाम का एक और आव्यूह $B$ उपस्थित हो, जैसे कि $AB=BA=I$, जहां $I$ उसी क्रम का पहचान आव्यूह है। आव्यूह $B$ को आव्यूह $A$ के व्युत्क्रम के रूप में जाना जाता है। आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम प्रतीकात्मक रूप से $A^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है। एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह को अनव्युत्क्रमणीय(गैर-अव्युत्क्रमणीय) आव्यूह या अनपभ्रष्ट(गैर-डीजनरेटेड)आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, आव्यूह $A$ और $B$ नीचे दिए गए हैं:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&5\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}5&-2\\-2&1\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&5\end{bmatrix}}$

अब हम $A$ के साथ $B$ को गुणा करते हैं और एक तत्समक आव्यूह प्राप्त करते हैं:

$AB={\begin{bmatrix}1\times 5+2\times -2&1\times -2+2\times 1\\2\times 5+5\times -2&2\times -2+5\times 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-4&-2+2\\10-10&-4+5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

इसी प्रकार, $B$ को $A$ से गुणा करने पर, हमें समान तत्समक आव्यूह प्राप्त होता है:

$BA={\begin{bmatrix}5\times 1+-2\times 2&5\times 2+-2\times 5\\-2\times 1+1\times 2&2\times -2+1\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-4&10-10\\-2+2&-4+5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

हम देख सकते हैं कि $AB=BA=I$

अत: $A^{-1}=B$ और $B$ को $A$ के व्युत्क्रम के रूप में जाना जाता है

$B^{-1}=A$ और $A$ को $B$ का व्युत्क्रम भी कहा जा सकता है

व्युत्क्रमणीय आव्यूह प्रमेय

प्रमेय 1

यदि किसी वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम उपस्थित है, तो वह सदैव अद्वितीय होता है।

प्रमाण:

मान लीजिए $A$, $n\times n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है। मान लीजिए आव्यूह $B$ और $C$, आव्यूह $A$ के व्युत्क्रम हैं।

अब $AB=BA=I$ चूँकि $B$ आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम है।

इसी प्रकार, $AC=CA=I$

परंतु $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$

इससे सिद्ध होता है कि $B=C$ या $B$ और $C$ समान आव्यूह हैं।

प्रमेय 2

यदि $A$ और $B$ एक ही कोटि के आव्यूह हैं और व्युत्क्रमणीय हैं, तो $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

प्रमाण

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा के अनुसार $(AB)(AB)^{-1}=I$

$A^{-1}(AB)(AB)^{-1}=A^{-1}I$ --------- Multiply by $A^{-1}$ on both sides

$(A^{-1}A)B(AB)^{-1}=A^{-1}$ --------- We know that $A^{-1}I=A^{-1}$    

$IB(AB)^{-1}=A^{-1}$ ---------We know that $A^{-1}A=I$  

$B(AB)^{-1}=A^{-1}$---------We know that $IB=B$  

$B^{-1}B(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ --------- Multiply by $B^{-1}$ on both sides

$I(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$---------We know that $B^{-1}B=I$  

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$---------We know that $I(AB)^{-1}=(AB)^{-1}$