बीजीय सर्वसमिकाएँ

बीजगणितीय समीकरण जो उनमें चर के सभी मानों के लिए मान्य होते हैं, बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ कहलाते हैं। इनका उपयोग बहुपदों के गुणनखंडन के लिए किया जाता है। बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग बीजगणितीय व्यंजकों की गणना और विभिन्न बहुपदों को हल करने में किया जाता है।

बीजीय सर्वसमिकाएँ

कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:

सर्वसमिका I

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

उदाहरण 1: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $(x+3)(x+3)$ का मूल्यांकन करें

$(x+3)(x+3)=x^{2}+2(x)(3)+3^{2}$

$=x^{2}+6x+9$

उदाहरण 2: $49a^{2}+70ab+25b^{2}$ का गुणनखंडन

$49a^{2}=(7a)^{2}$ , $25b^{2}=(5b)^{2}$ , $70ab=2(7)(5)ab$

$(7a)^{2}+2(7)(5)ab+(5b)^{2}$

सर्वसमिका I का उपयोग करते हुए $a=7a,b=5b$

$49a^{2}+70ab+25b^{2}=(7a+5b)^{2}=(7a+5b)(7a+5b)$

सर्वसमिका II

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

उदाहरण 1: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $(x-3)(x-3)$ का मूल्यांकन करें

$(x-3)(x-3)=x^{2}-2(x)(3)+3^{2}$

$=x^{2}-6x+9$

सर्वसमिका III

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

उदाहरण: ${\frac {49}{4}}x^{2}-{\frac {y^{2}}{9}}$

${\frac {49}{4}}x^{2}-{\frac {y^{2}}{9}}$ = $\left[{\frac {7x}{2}}\right]^{2}-\left[{\frac {y}{3}}\right]^{2}$

सर्वसमिका III का उपयोग करते हुए

${\frac {49}{4}}x^{2}-{\frac {y^{2}}{9}}=$$\left[{\frac {7x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right]\left[{\frac {7x}{2}}-{\frac {y}{3}}\right]$

सर्वसमिका IV

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $103\times 105$ का मूल्यांकन करें

सर्वसमिका IV का उपयोग करते हुए

$103\times 105=(100+3)(100+5)=(100)^{2}+(3+5)(100)+(3\times 5)$

$=10000+800+15=10815$

सर्वसमिका V

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

उदाहरण: $(3a+4b+5c)^{2}$ का प्रसार

सर्वसमिका V का उपयोग करते हुए

$(3a+4b+5c)^{2}=(3a)^{2}+(4b)^{2}+(5c)^{2}+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a)$

$(3a+4b+5c)^{2}=9a^{2}+16b^{2}+25c^{2}+24ab+40bc+30ca$

सर्वसमिका VI

$(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$

उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $(104)^{3}$ का मूल्यांकन करें

सर्वसमिका VI का उपयोग करते हुए

$(104)^{3}=(100+4)^{3}=(100)^{3}+(4)^{3}+3(100)(4)(100+4)$

=$1000000+64+124800=1124864$

सर्वसमिका VII

$(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)$

उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $(99)^{3}$ का मूल्यांकन करें

सर्वसमिका VII का उपयोग करते हुए

$(99)^{3}=(100-1)^{3}=(100)^{3}-(1)^{3}-3(100)(1)(100-1)$

=$1000000-1-29700=970299$

सर्वसमिका VIII

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

उदाहरण: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ का गुणनखंडन $8x^{3}+y^{3}+27z^{3}-18xyz$

$(2x)^{3}+y^{3}+(3z)^{3}-3(2x)(y)(3z)$

$(2x+y+3z)((2x)^{2}+y^{2}+(3z)^{2}-(2x)(y)-(y)(3z)-(3z)(2x))$

$(2x+y+3z)(4x^{2}+y^{2}+9z^{2}-2xy-3yz-6zx)$