माध्य - कल्पित माध्य विधि

सांख्यिकी में,वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना के लिए कल्पित माध्य विधि का उपयोग किया जाता है। यदि दिया गया आंकड़ा बड़ा है, तो माध्य की गणना के लिए प्रत्यक्ष विधि के स्थान पर इस विधि की अनुशंसा की जाती है। यह विधि गणना को कम करने में मदद करती है और परिणाम छोटे संख्यात्मक मानों में आते हैं। यह विधि माध्य का अनुमान लगाने और गणना करने के लिए आसान मान को पूर्णांकित करने पर निर्भर करती है। पुनः यह मान सभी नमूना मानों से घटा दिया जाता है। जब नमूनों को समान आकार श्रेणियों या वर्ग अंतरालों में परिवर्तित किया जाता है, तो एक केंद्रीय वर्ग चुना जाता है और गणना की जाती है।

कल्पित माध्य विधि सूत्र

Let $x_{1},x_{2},x_{3}.....x_{n}$ are mid-points or class marks of $n$ class intervals and $f_{1},f_{2},f_{3}.....f_{n}$ are the respective frequencies. The formula of the assumed mean method is

${\bar {x}}=a+{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}d_{i}}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}$

यहाँ,

$a$ = कल्पित माध्य

$f_{i}$ = $i$^वीं वर्ग की आवृत्ति

$d_{i}$ = $x_{i}-a$ = $i$^वीं वर्ग का विचलन

$\sum f_{i}$ =प्रेक्षणों की कुल संख्या

$x_{i}$= वर्ग चिन्ह = (ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) / 2

Example: The following table gives information about the marks obtained by 110 students in an examination.

वर्ग अंतराल	आवृत्ति
0 - 10	12
10 - 20	28
20 - 30	32
30 - 40	25
40 - 50	13

कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके विद्यार्थियों के माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग अंतराल	आवृत्ति ($f_{i}$)	वर्ग चिन्ह ($x_{i}$)	$d_{i}=x_{i}-a$	$f_{i}d_{i}$
0 - 10	12	5	5 - 25 = -20	-240
10 - 20	28	15	15 - 25 = -10	-280
20 - 30	32	25 = $a$	25 - 25 = 0	0
30 - 40	25	35	35 - 25 = 10	250
40 - 50	13	45	45 - 25 = 20	260
कुल	$\sum f_{i}=110$			$\sum f_{i}d_{i}=-10$

कल्पित माध्य= $a$ = 25

${\bar {x}}=a+{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}d_{i}}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}=25+{\frac {-10}{110}}$

${\bar {x}}=25+{\frac {-1}{11}}=24.9$

विद्यार्थियों के माध्य अंक $24.9$ हैं