त्रिभुज के गुण

प्रमेय 1: समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं

चित्र 1- समद्विबाहु त्रिभुज

प्रमाण: चित्र 1 में दिखाए गए समद्विबाहु त्रिभुज $BCA$ पर विचार करें, जहाँ $AB=AC$ है।

हमें यह सिद्ध करना होगा कि भुजाओं $AB$और $AC$ के सम्मुख कोण समान अर्थात् $\angle ABC=\angle ACB$ हैं।

हम पहले $\angle BAC$का एक समद्विभाजक बनाते हैं और इसे $AD$ नाम देते हैं।

अब $\triangle BAD$ और $\triangle CAD$ में हमारे पास है,

$AB=AC$                                                       (दिया हुआ)

$\angle BAD=\angle CAD$                                (संरचना से)

$AD=AD$                                                           (दोनों में समान)

अत:,  $\triangle BAD\cong \triangle CAD$                            (SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए, $\angle ABC=\angle ACB$                                    (CPCT द्वारा)

अतः सिद्ध हुआ।

प्रमेय 2: किसी त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।

प्रमाण: चित्र-1 में दिखाए गए त्रिभुज $BCA$ में, आधार कोण समान हैं और हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है कि $AB=AC$ या

$BCA$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

एक समद्विभाजक $AD$ की रचना कीजिए जो भुजा $BC$ से समकोण पर मिलता है।

अब $\triangle BAD$ और $\triangle CAD$ में हमारे पास है,

$\angle BAD=\angle CAD$                                        (संरचना से)

$AD=AD$                                                      (समान भुजाएँ)

$\angle BDA=\angle CDA=90^{\circ }$                               (संरचना से)

अत:, $\triangle BAD\cong \triangle CAD$                                 (ASA सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए, $AB=AC$                                            (CPCT द्वारा)

अथवा $\triangle BCA$ समद्विबाहु है।