केंद्र से जीवा पर लंब: Difference between revisions

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=== प्रमेय : ===
=== प्रमेय : ===
The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.
एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।


'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|Fig. 1]]
'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|चित्र-1]]
Consider a circle with centre <math>O</math> shown in Fig. 1
चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें


<math>AB</math> is a chord such that the line <math>OX</math> is perpendicular to the chord <math>AB</math>. (<math>OX\perp AB</math>)
<math>AB</math> एक जीवा है जिससे रेखा <math>OX</math> जीवा <math>AB</math> पर लंबवत है। <math>OX\perp AB</math>


We need to prove: <math>AX=BX</math>
हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:<math>AX=BX</math>


Consider two triangles <math>OAX</math> and <math>OBX</math>
दो त्रिभुजों  <math>OAX</math> और <math>OBX</math> पर विचार करें


<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>
<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>


<math>OX=OX</math> (Common side)
<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)


<math>OA=OB</math> (Radii)
<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)


By using the RHS rule, we can prove that the triangle <math>OAX</math> is congruent to <math>OBX</math>.
RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज <math>OAX</math>, <math>OBX</math> के सर्वांगसम है।


Therefore,
अतः,


<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>
<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>


Hence, we can say that <math>AX=BX</math> ( Using CPCT)
अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>AX=BX</math> (CPCT द्वारा)


Thus, the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।


=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord
किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है


'''प्रमाण:'''
'''प्रमाण:'''


Consider the Fig. 1
चित्र-1 पर विचार करें


Assume that <math>AB</math> is the chord of a circle with centre <math>O</math>.
Assume that <math>AB</math> is the chord of a circle with centre <math>O</math>.
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Here,
Here,


<math>OA=OB</math> (Radii)
<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)


<math>OX=OX</math> (Common side)
<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)


<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)
<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)

Revision as of 11:51, 18 September 2024

गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लंब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

केंद्र से जीवा पर लंब– प्रमेय एवं प्रमाण

प्रमेय :

एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रमाण:

Fig. 1
चित्र-1

चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले वाले एक वृत्त पर विचार करें

एक जीवा है जिससे रेखा जीवा पर लंबवत है।

हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:

दो त्रिभुजों और पर विचार करें

(समान भुजाएँ)

(त्रिज्या)

RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज , के सर्वांगसम है।

अतः,

अत: हम ऐसा कह सकते हैं (CPCT द्वारा)

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

इस प्रमेय का व्युत्क्रम:

किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है

प्रमाण:

चित्र-1 पर विचार करें

Assume that is the chord of a circle with centre .

The centre is joined to the midpoint of the chord .

Now, we need to prove

Join and and the two triangles formed are and .

Here,

(त्रिज्या)

(समान भुजाएँ)

(As, is the midpoint of AB)

Therefore, we can say that .

Thus, by using the RHS rule, we get

This proves that the line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.Hence, the converse of this theorem is proved.