रैखिक समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 16:03, 15 October 2024

रेखीय समीकरण क्या है?

वह समीकरण जिसकी उच्चतम घात $1$ होती है, उसे रैखिक समीकरण कहते हैं। इसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण में किसी भी चर का घातांक $1$ इससे अधिक नहीं होता है। एक रेखीय समीकरण का ग्राफ सदैव एक सीधी रेखा बनाता है।

रेखीय समीकरण परिभाषा: रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा $1$ होती है। इसे एक-घातीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।

एक चर वाले रैखिक समीकरण और दो चर वाले रैखिक समीकरण होते हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों की सहायता से रैखिक समीकरणों और अरैखिक समीकरणों की पहचान करना सीखें।

Equations	Linear or Non-Linear
$y=8x-9$	Linear
$y=x^{2}-7$	Non-Linear, the power of the variable $x$ is 2
${\sqrt {y}}+x=6$	Non-Linear, the power of the variable $y$ is 1/2
$y+3x-1=0$	Linear
$y^{2}-x=9$	Non-Linear, the power of the variable $y$ is 2

मानक रूप में रैखिक समीकरण

एक चर में रैखिक समीकरणों का मानक रूप या सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जाता है, $ax+b=0$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $x$ एकल चर है।

दो चरों में रैखिक समीकरणों का मानक रूप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है, $ax+by+c=0$ जहाँ $a$ , $b$ और $c$ कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं, और $x$ और $y$ चर हैं।

चित्र .1

एक चर में रैखिक समीकरण

एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें केवल एक चर उपस्थित होता है। यह $ax+b=0$ , के रूप का होता है, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हैं और $x$ एक अज्ञात चर है जिसका मात्र एक हल है। यह गणितीय कथन को दर्शाने का सबसे आसान उपाय है। इस समीकरण की एक घात होती है जो सदैव $1$ के समान होती है। . एक चर में रैखिक समीकरण को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। अज्ञात चर का मान प्राप्त करने के लिए, चरों को अलग करके समीकरण के एक तरफ लाया जाता है और स्थिरांकों को जोड़कर समीकरण के दूसरी तरफ लाया जाता है।

उदाहरण: Solve the linear equation in one variable: $3x+6=18$ .

In order to solve the given equation, we bring the numbers on the right-hand side of the equation and we keep the variable on the left-hand side. This means, $3x=18-6$ . Then, as we solve for $x$ , we get, $3x=12$ . Finally, the value of $x={\frac {12}{3}}=4$ .

दो चर वाले रैखिक समीकरण

A linear equation in two variables is of the form $ax+by+c=0$ , in which $a$ , $b$ , $c$ are real numbers and $x$ and $y$ are the two variables, each with a degree of $1$ . If we consider two such linear equations, they are called simultaneous linear equations. For example, $6x+2y+9=0$ is a linear equation in two variables. There are various ways of solving linear equations in two variables like the graphical method, the substitution method, the cross multiplication method, the elimination method, and the determinant method.

समस्या 1 :

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को ax + by + c = 0 के रूप में लिखें और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान इंगित करें:

$4=5x-3y$

हल:

$5x-3y-4=0$ , यहाँ $a=5,b=-3,c=-4$

समस्या 2 :

निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखिए।

(i) $x=-5$ ----- $1.x+0.y+5=0$

(i) $5y=2$ ----- $0.x+5.y-2=0$

@@ Line 1: / Line 1: @@
-== What is a Linear Equation? ==
+== रेखीय समीकरण क्या है? ==
-An equation that has the highest degree of <math>1 </math> is known as a linear equation. This means that no variable in a linear equation has a variable whose exponent is more than <math>1 </math>. The graph of a linear equation always forms a straight line.
+वह समीकरण जिसकी उच्चतम घात <math>1 </math> होती है, उसे रैखिक समीकरण कहते हैं। इसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण में किसी भी चर का घातांक <math>1 </math>इससे अधिक नहीं होता है। एक रेखीय समीकरण का ग्राफ सदैव एक सीधी रेखा बनाता है।
-'''Linear Equation Definition:''' A linear equation is an algebraic equation where each term has an exponent of <math>1 </math> and when this equation is graphed, it always results in a straight line. This is the reason why it is named as a 'linear' equation.
+'''रेखीय समीकरण परिभाषा:''' रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा <math>1 </math> होती है। इसे एक-घातीय  समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।
-There are linear equations in one variable and linear equations in two variables. Let us learn how to identify linear equations and non-linear equations with the help of the following examples.
+एक चर वाले रैखिक समीकरण और दो चर वाले रैखिक समीकरण होते हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों की सहायता से रैखिक समीकरणों और अरैखिक समीकरणों की पहचान करना सीखें।
 {| class="wikitable"
 !Equations
@@ Line 25: / Line 25: @@
 |}
-== Linear Equations in Standard Form ==
+== मानक रूप में रैखिक समीकरण ==
-The standard form or the general form of linear equations in one variable is written as, <math>ax+b=0 </math> where <math>a </math> and <math>b </math> are real numbers, and <math>x </math> is the single variable.
+एक चर में रैखिक समीकरणों का मानक रूप या सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जाता है, <math>ax+b=0 </math> जहाँ <math>a </math> और <math>b </math> वास्तविक संख्याएँ हैं, और <math>x </math> एकल चर है।
-The standard form of linear equations in two variables is expressed as, <math>ax+by+c=0 </math> where <math>a </math>, <math>b </math> and <math>c </math> are any real numbers, and <math>x </math> and <math>y </math> are the variables.
+दो चरों में रैखिक समीकरणों का मानक रूप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है, <math>ax+by+c=0 </math> जहाँ <math>a </math>, <math>b </math> और <math>c </math>कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं, और <math>x </math> और <math>y </math> चर हैं।
 [[File:Linear equation format - Hindi.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|चित्र .1]]
-== Linear Equations in One Variable ==
+== एक चर में रैखिक समीकरण ==
-A linear equation in one variable is an equation in which there is only one variable present. It is of the form <math>ax+b=0 </math>, where <math>a </math> and <math>b </math> are any two real numbers and <math>x </math> is an unknown variable that has only one solution. It is the easiest way to represent a mathematical statement. This equation has a degree that is always equal to <math>1 </math>. A linear equation in one variable can be solved very easily. The variables are separated and brought to one side of the equation and the constants are combined and brought to the other side of the equation, to get the value of the unknown variable
+एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें केवल एक चर उपस्थित होता है। यह <math>ax+b=0 </math>, के रूप का होता है, जहाँ <math>a </math> और <math>b </math> कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हैं और <math>x </math>एक अज्ञात चर है जिसका मात्र एक हल है। यह गणितीय कथन को दर्शाने का सबसे आसान उपाय है। इस समीकरण की एक घात होती है जो सदैव <math>1 </math> के समान होती है। . एक चर में रैखिक समीकरण को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। अज्ञात चर का मान प्राप्त करने के लिए, चरों को अलग करके समीकरण के एक तरफ लाया जाता है और स्थिरांकों को जोड़कर समीकरण के दूसरी तरफ लाया जाता है।
+'''उदाहरण:''' Solve the linear equation in one variable: <math>3x+6=18 </math>.
-'''Example:''' Solve the linear equation in one variable: <math>3x+6=18 </math>.
 In order to solve the given equation, we bring the numbers on the right-hand side of the equation and we keep the variable on the left-hand side. This means, <math>3x=18-6 </math>. Then, as we solve for <math>x </math>, we get, <math>3x=12 </math>. Finally, the value of <math>x=\frac{12}{3}=4 </math>.
-== Linear Equations in Two Variables ==
+== दो चर वाले रैखिक समीकरण ==
 A linear equation in two variables is of the form <math>ax+by+c=0 </math>, in which <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> are real numbers and <math>x </math> and <math>y </math> are the two variables, each with a degree of <math>1 </math>. If we consider two such linear equations, they are called simultaneous linear equations. For example, <math>6x+2y+9=0 </math> is a linear equation in two variables. There are various ways of solving linear equations in two variables like the [[Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations|graphical method]], the substitution method, the cross multiplication method, the elimination method, and the determinant method.
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-रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा 1 होती है। इसे एक-घातीय  समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।
 [[Category:रैखिक समीकरण]]
-एक चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप <math>ax+b=0 </math> के रूप का होता है। यहाँ, <math>x </math> एक चर है, <math>a</math> एक गुणांक है, और <math>b</math> स्थिरांक है।
-दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप इस प्रकार का होता है
-<math>ax+by=c </math> यहां, <math>x </math> और <math>y</math> चर हैं, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, और <math>c</math> एक स्थिरांक है।
-एक चर में रैखिक समीकरण का उदाहरण  <math>5x+6=0 </math>
-दो चर वाले रैखिक समीकरण का उदाहरण  <math>5x+6y +7=0 </math>
 [[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
 [[Category:गणित]]