दो बिंदुओं के बीच की दूरी: Difference between revisions

Revision as of 09:54, 25 October 2024

दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करता है। निर्देशांक ज्यामिति में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जो द्विविमीय या त्रिविमीय अंतरिक्ष में उपस्थित है। दो बिंदुओं के लिए दूरी सूत्र भी पाइथागोरस प्रमेय का एक अनुप्रयोग है।

दो बिंदुओं के बीच दूरी का सूत्र क्या है?

दो बिंदुओं के बीच की दूरी उस रेखाखंड की लंबाई है जो एक समतल में दो बिंदुओं को जोड़ती है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र आमतौर पर d=√((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र का उपयोग निर्देशांक तल या $x-y$ तल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

दो बिंदुओं के लिए दूरी सूत्र

जैसा कि हमें ज्ञात है की, दूरी सूत्र का उपयोग किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जब हम पहले से ही निर्देशांक जानते हैं। बिंदु $x$ -अक्ष या $y$ -अक्ष पर अकेले या दोनों अक्षों पर मौजूद हो सकते हैं।

मान लीजिए, $XY$ समतल में दो बिंदु $A$ और $B$ हैं। बिंदु $A$ के निर्देशांक (x₁,y₁) और $B$ के निर्देशांक (x₂ ,y₂ ) हैं। फिर दो बिंदुओं $PQ$ के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

AB=√((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

टिप्पणी: यदि दो बिंदुओं P और Q के निर्देशांक इस प्रकार हैं कि, (x₁, 0) और (x₂ , 0), तो PQ के बीच की दूरी इस प्रकार दी जाएगी:

PQ = |x₂ – x₁|

निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी

द्विविमीय समतल के मामले में, दो बिंदु $x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष के साथ स्थित होते हैं। $y$ -अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसके $x$ -निर्देशांक या भुज के रूप में जाना जाता है। $x$ -अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका $y$ -निर्देशांक या कोटि कहते हैं। $x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक क्रमशः $(x,0)$ और $(0,y)$ के रूप में होते हैं।

उपरोक्त ग्राफ में, मूल बिंदु $O(0,0)$ और $P(x,y)$ के बीच की दूरी इस प्रकार दी गई है:

$OP={\sqrt {(x_{2}-0)^{2}+(y_{2}-0)^{2}}}$

$OP={\sqrt {(x_{2})^{2}+(y_{2})^{2}}}$

या सरल शब्दों में,

$OP={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}$

जहाँ $x$ और $y$ मूल बिंदु के अलावा अन्य बिंदु के निर्देशांक हैं।

3D अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र

यदि हमें त्रिविमीय अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है, तो हम यहाँ एक अतिरिक्त निर्देशांक पर विचार करते हैं जो $z$ -अक्ष में मौजूद है।

आइए 3D अंतरिक्ष में दो बिंदु $A(x1,y1,z1)$ और $B(x2,y2,z2)$ पर विचार करें। फिर, इन दो बिंदुओं के लिए दूरी सूत्र इस प्रकार दिया गया है;

  $AB={\sqrt {[x_{2}-x_{1}]^{2}+[y_{2}-y_{1}]^{2}+[z_{2}-z_{1}]^{2}}}$

मूल $O(0,0,0)$ से अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु $P(x,y,z)$ की दूरी इस प्रकार दी गई है,

$AB={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

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 == दो बिंदुओं के बीच दूरी का सूत्र क्या है? ==
-दो बिंदुओं के बीच की दूरी उस रेखाखंड की लंबाई है जो एक समतल में दो बिंदुओं को जोड़ती है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र आमतौर पर d=√((x<sub>2</sub>  – x<sub>1</sub>)² + (y<sub>2</sub>  – y<sub>1</sub>)²) द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र का उपयोग निर्देशांक तल या x-y तल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
+दो बिंदुओं के बीच की दूरी उस रेखाखंड की लंबाई है जो एक समतल में दो बिंदुओं को जोड़ती है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र आमतौर पर '''d=√((x<sub>2</sub>  – x<sub>1</sub>)² + (y<sub>2</sub>  – y<sub>1</sub>)²)''' द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र का उपयोग निर्देशांक तल या <math>x-y</math> तल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
 == दो बिंदुओं के लिए दूरी सूत्र ==
-जैसा कि हमें ज्ञात है की, दूरी सूत्र का उपयोग किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जब हम पहले से ही निर्देशांक जानते हैं। बिंदु x-अक्ष या y-अक्ष पर अकेले या दोनों अक्षों पर मौजूद हो सकते हैं।
+जैसा कि हमें ज्ञात है की, दूरी सूत्र का उपयोग किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जब हम पहले से ही निर्देशांक जानते हैं। बिंदु <math>x</math>-अक्ष या <math>y</math>-अक्ष पर अकेले या दोनों अक्षों पर मौजूद हो सकते हैं।
-मान लीजिए, XY समतल में दो बिंदु A और B हैं। बिंदु A के निर्देशांक (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) और B के निर्देशांक (x<sub>2</sub>  ,y<sub>2</sub> ) हैं। फिर दो बिंदुओं PQ के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
+मान लीजिए, <math>XY</math> समतल में दो बिंदु <math>A</math> और <math>B</math> हैं। बिंदु <math>A</math> के निर्देशांक (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) और <math>B</math> के निर्देशांक (x<sub>2</sub>  ,y<sub>2</sub> ) हैं। फिर दो बिंदुओं <math>PQ</math> के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
-AB=√((x<sub>2</sub>  – x<sub>1</sub>)² + (y<sub>2</sub>  – y<sub>1</sub>)²)
+'''AB=√((x<sub>2</sub>  – x<sub>1</sub>)² + (y<sub>2</sub>  – y<sub>1</sub>)²)'''
-<math>AB=\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}</math>
+टिप्पणी: यदि दो बिंदुओं P और Q के निर्देशांक इस प्रकार हैं कि, (x<sub>1</sub>, 0) और (x<sub>2</sub>  , 0), तो PQ के बीच की दूरी इस प्रकार दी जाएगी:
-नोट: यदि दो बिंदुओं P और Q के निर्देशांक इस प्रकार हैं कि, (x<sub>1</sub>, 0) और (x<sub>2</sub>  , 0), तो PQ के बीच की दूरी इस प्रकार दी जाएगी:
+'''PQ = |x<sub>2</sub>  – x<sub>1</sub>|'''
-PQ = |x<sub>2</sub>  – x<sub>1</sub>|
 == निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ==
-द्विविमीय समतल के मामले में, दो बिंदु x-अक्ष और y-अक्ष के साथ स्थित होते हैं। y-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसके x-निर्देशांक या भुज के रूप में जाना जाता है। x-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका y-निर्देशांक या कोटि कहते हैं। x-अक्ष और y-अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक क्रमशः (x, 0) और (0, y) के रूप में होते हैं।
+द्विविमीय समतल के मामले में, दो बिंदु <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष के साथ स्थित होते हैं। <math>y</math>-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसके <math>x</math>-निर्देशांक या भुज के रूप में जाना जाता है। <math>x</math>-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका <math>y</math>-निर्देशांक या कोटि कहते हैं। <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक क्रमशः  <math>(x, 0)</math> और <math>(0, y)</math> के रूप में होते हैं।
-उपरोक्त ग्राफ में, मूल बिंदु O(0,0) और P(x,y) के बीच की दूरी इस प्रकार दी गई है:
+उपरोक्त ग्राफ में, मूल बिंदु <math>O(0,0)</math> और <math>P(x,y)</math> के बीच की दूरी इस प्रकार दी गई है:
-OP = √((x<sub>2</sub> – 0)² + (y<sub>2</sub> – 0)²)
+<math>OP = \sqrt{(x_2-0)^2+(y_2-0)^2}</math>
-OP = √((x<sub>2</sub>)² + (y<sub>2</sub>)²)
+<math>OP = \sqrt{(x_2)^2 + (y_2)^2}</math>
 या सरल शब्दों में,
-OP = √(x² + y²)
+<math>OP = \sqrt{(x^2+y^2)}</math>
-जहाँ x और y मूल बिंदु के अलावा अन्य बिंदु के निर्देशांक हैं।
+जहाँ <math>x</math> और <math>y</math> मूल बिंदु के अलावा अन्य बिंदु के निर्देशांक हैं।
 == 3D अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र ==
-यदि हमें त्रिविमीय अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है, तो हम यहाँ एक अतिरिक्त निर्देशांक पर विचार करते हैं जो z-अक्ष में मौजूद है।
+यदि हमें त्रिविमीय अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है, तो हम यहाँ एक अतिरिक्त निर्देशांक पर विचार करते हैं जो <math>z</math>-अक्ष में मौजूद है।
-आइए 3d अंतरिक्ष में दो बिंदु A(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) और B(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>,z<sub>2</sub>) पर विचार करें। फिर, इन दो बिंदुओं के लिए दूरी सूत्र इस प्रकार दिया गया है;
+आइए 3D अंतरिक्ष में दो बिंदु <math>A(x1,y1,z1)</math>और <math>B(x2,y2,z2)</math> पर विचार करें। फिर, इन दो बिंदुओं के लिए दूरी सूत्र इस प्रकार दिया गया है;
-AB = √[x<sub>2-x1</sub>]<sup>2</sup> + [y<sub>2</sub>- y<sub>1</sub>]<sup>2</sup> + [z<sub>2</sub>–z<sub>1</sub>]<sup>2</sup>
+  <math>AB = \sqrt{[x_2-x_1]^2 +[y_2- y_1]^2 + [z_2-z_1]^2}</math>
-मूल O(0,0,0) से अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु P(x,y,z) की दूरी इस प्रकार दी गई है,
+मूल <math>O(0,0,0)</math> से अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु <math>P(x,y,z)</math> की दूरी इस प्रकार दी गई है,
-AB = √x<sup>2</sup>+ y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>
+<math>AB = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
 [[Category:त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]