शेषफल प्रमेय

जब एक बहुपद को एक रैखिक बहुपद द्वारा विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किया जाता है।

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है"।

उदाहरण

बहुपद $p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$ को $x+1$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए

	$3x^{2}-2x+4$
$x+1$	$3x^{3}$	$+$	$x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
	$3x^{3}$	$+$	$3x^{2}$
		$-$	$2x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
		$-$	$2x^{2}$	$-$	$2x$
				$+$	$4x$	$+$	$5$
				$+$	$4x$	$+$	$4$
							1

यहाँ, भागफल = $3x^{2}-2x+4$

शेषफल = $1$

सत्यापन:

दिया गया है कि भाजक $x+1$ है, अर्थात यह दिए गए बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

मान लीजिए $x+1=0$

$x=-1$

$x=-1$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर ,

$p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$

$p(-1-)=3(-1)^{3}+(-1)^{2}+2(-1)+5$

$p(-1-)=3(-1)+1-2+5$

$p(-1-)=-3+1-2+5$

$p(-1-)=1$

शेषफल  = $x=-1$ पर $p(x)$ का मान ।

अतः शेषफल प्रमेय सिद्ध हुआ।

शेषफल प्रमेय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ:

• शेष प्रमेय कहता है "जब एक बहुपद p(x) को एक रैखिक बहुपद से विभाजित किया जाता है जिसका शून्य x = k है, तो शेष p(k) द्वारा दिया जाता है"।
• विभाजन की जाँच करने का मूल सूत्र है: लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
• जब भाजक रैखिक नहीं होता है तो शेषफल प्रमेय काम नहीं करता है।
• साथ ही, यह भागफल ज्ञात करने में सहायता नहीं करता है।